Funções que repetem seus valores em intervalos regulares são descritas como periódicas. Uma função f é periódica se existir algum número k tal que f (x + k) = f (x) para todo x no domínio de f. O menor número positivo k é referido para o período de f. Qualquer parte do gráfico de uma função periódica que corresponde a um período é chamada de ciclo do gráfico.
Analisando o Gráfico da Função Tangente
Considere o gráfico da função tangente no intervalo [- 2, 2].
Tendo em vista que , a função tangente é indefinida quando cos(x) = 0 e o gráfico da função tangente intercepta o eixo x quando sen(x) = 0. Onde estão posicionadas as assíntotas verticais para y = tg (x) no intervalo [- 2, 2]? - onde n = - 2, - 1, 0, 1 Quais são os valores de x interceptados pela função y = tg (x) no intervalo [- 2, 2]? - 2, - , 0, , 2 O gráfico de y = tg (x) é simétrico em relação a que? - Origem Quantas vezes no intervalo [- 2, 2] o gráfico da função tangente repete esse modelo? - 4 vezes Preveja em qual intervalo de x os valores da função tangente repetem eles mesmos. - Considere o efeito dos diferentes valores de k no gráfico da função tangente. Compare os gráficos de y = tg ( x ), y 1 = tg ( x + ), e y 2 = tg ( x + 2) - Eles são idênticos Baseado no efeito da constante positiva k no gráfico de y = tg ( x + k ), qual conjectura pode ser feita em relação ao período da função tangente? - O período da função tangente é . A função tangente é periódica com um período de . Para todo x no domínio, tg ( x ) = tg ( x + ). Considere os gráficos de um trio de funções tangentes no intervalo [-, ]. Identifique as Assíntotas verticais no intervalo [-, ] para y 4 e y 5 . y 4 : x = + n, onde n = -2, - 1, 0, 1 y 5 : x = - e x = Onde está o x-interceptado posicionado no intervalo [-, ] para y 4 e y 5? y 4 : - , - , 0, , y 5 : 0 Quantos ciclos estão completos no intervalo de extensão para y 3 , y 4 e y 5? y 3 : 1 y 4 : 2 y 5 : 1/2 Compare o número de ciclos completados no intervalo de extensão com o coeficiente de x em y = tg ( bx ). - O número de ciclos completados é igual ao coeficiente de x. Qual é a extensão de um ciclo (período) de y 4 e y 5? y 4 : y 5 : 2 Um ciclo de y = tg ( bx ), b > 0, é completado quando bx varia de 0 à . Se , estão . A extensão do intervalo O período da função tangente definida abaixo pode ser determinado algebricamente e confirmado graficamente. Qual é o período de y9? Baseado no gráfico de y9, Qual é a extensão de um ciclo (período)? Examine os gráficos de outro trio das funções tangentes no intervalo [-, ]. Descreva o efeito do coeficiente a no período e a forma do gráfico de y = a.tg ( x ). - a não afeta o período mas inclina o gráfico verticalmente por um fator de a. Porque a função tangente é sem limite, não existe amplitude para o gráfico da função tangente. Considere os gráficos da função tangente y11 = tg ( x ) e y12 = tan (- x) no intervalo [-, ] . Explique onde o gráfico de y = tg ( x ) tem o mesmo período do gráfico de y = tg (- x ). - Os períodos de y = tg ( x ) e y = tg (- x ) são ambos . Faça uma conjectura baseada na relação de y = tg ( x ) e y = tg (- x ). - y = tg (- x ) é o oposto de y = tg ( x ), i.e., tg ( -x) = - tg ( x) Analisando Gráficos da Função Cotangente Examine o gráfico da função cotangente no intervalo [- 2, 2]. Tendo em vista que , a função cotangente é indefinida quando sen( x ) = 0 e o gráfico da função cotangente intercepta o eixo x quando cos( x ) = 0. Onde estão as Assíntotas verticais de y = cotg ( x ) posicionada no intervalo [- 2, 2]? x = - 2, x = - , x = 0, x = , x = 2 Quais sao os x-interceptados de y = cot x no intervalo [- 2, 2]? - , - , , O gráfico de y = cotg ( x ) é simétrico com relação a que? - A origem Quantas vezes o gráfico da função cotangente repete esse modelo no intervalo [- 2, 2]? - 4 vezes Preveja em qual intervalo de x os valores da função cotangente repete eles mesmos. - Considere os gráficos de um trio de funções cotangentes no intervalo [ 0, 2]. Quantos ciclos estão completos no intervalo de extensão pi para y 15 e y 16? y 15 : 2 y 16 : 1/2 Compare o número de ciclos completos no intervalo de extensão com o coeficiente de x em y = cotg ( bx ). - O número de ciclos completos é igual ao coeficiente de x. Qual é a extensão de um ciclo (período) de y 15 ? y 16 ? y 15 : y 16 : 2 O período do gráfico da função cotangente é o mesmo que o da função tangente é dado pela extensão do intervalo, . Como a função tangente, a função cotangente é sem limites e não tem amplitude. Considere os gráficos das funções cotangentes y 17 = cotg ( x ) e y 18 = cotg ( - x ) no intervalo [ 0, ]. Explique onde o gráfico de y 17 = cotg ( x ) tem o mesmo período como o gráfico dey 18 = cotg ( - x ). - O período é o mesmo e igual a . Descreva como as duas curvas periódicas y 17 e y 18 são relacionadas. y 17 = cotg (- x ) é o oposto de y 18 = cotg ( x ), i.e., cotg (-x) = - cotg ( x) Analisando o Gráfico da Função Secante Pelo fato da função secante ser definida como a recíproca da função cosseno, i.e., , os valores da função secante são recíprocos aos valores cossenos correspondentes. Os gráficos de y 19 = cos ( x ) e y 20 = sec ( x ) são apresentados abaixo. Onde estão as assíntotas verticais de y 20 = sec ( x ) posicionados no intervalo [- 2, 2]? x = - , x = - , x = , x = Explique porque as assíntotas verticais de y 20 = sec ( x ) estão posicionadas onde estão. - Onde a função coseno é zero, a função secante tem assíntota vertical. O gráfico de y 20 = sec ( x ) é simétrica em relação a que? - Ao eixo y Recorde que o domínio da função cosseno é (- , ) e a imagem da função cosseno é [- 1, 1]. Para a função secante, use a notação intervalo para descrever o a) domínio - D = (- , ) b) Imagem - I = ( - , - 1] ou [1, ) O gráfico da função secante não tem amplitude e nem o eixo x é interceptado. Qual é o valor do eixo y que é interceptado por y 20 = sec ( x ) ? - y = 1 Descreva o comportamento de y 20 = sec ( x ) como crescente ou decrescente no intervalo específico. a) [0, ) - é crescente b) ( , ] - é decrescente c) [, ) - é decrescente d) (, 2] - é decrescente Considere os gráficos de um trio de funções secantes no intervalo [- 2, 2]. Quantos ciclos estão completos no intervalo da imagem de 2 para y 25, y 26 e y 27 ? y 25 : 1 y 26 : 2 y 27 : 1/2 Compare o número de ciclos completos no intervalo de extensão 2 com o coeficiente de x em y = sec ( bx ). - O número de ciclos completos é igual ao coeficiente de x. Qual é a extensão de um ciclo (período) de y 25 e y 26 y 26 : y 27 : 4 Um ciclo de y = sec ( bx ), b > 0, é completado com bx que varia de 0 a 2. Se , estão . A extensão do intervalo,, é o período de y = sec ( bx ). O período da função secante definida abaixo pode ser determinado algebricamente e confirmada graficamente. Qual é o período de y 28? 2 Baseado no gráfico de y 28, qual a extensão de um ciclo (período)? 2 Considere o gráfico de y 21 = 3 sec (x) no intervalo [- 2, 2]. Onde estão as assíntotas verticais de y 21 = 3 sec (x) posicionadas no intervalo [- 2, 2] ? x = - , x = - , x = , x = Qual é o valor onde o eixo y é interceptado por y 21 = 3 sec (x)? - igual à 3 Qual conjectura pode ser feita sobre o efeito de a em y = a* sec (x) no gráfico da função secante? - O gráfico é inclinado verticalmente por um fator de a. Analisando o Gráfico da Função Cossecante Pelo fato da função cossecante ser definida como a recíproca da função seno i.e., , valores da função cossecante são recíprocos dos valores seno correspondentes. Os gráficos de y 22 = sen ( x ) e y 23 = cossec ( x ) são apresentados abaixo. Onde estão as Assíntotas verticais de y 23 = cossec ( x ) posicionadas no intervalo [- 2, 2] ? x = - 2, x = - , x = 0, x = , x = 2 Explique a razão do posicionamento das assíntotas verticais de y 23 = cossec ( x ) . - Onde a função seno é zero, a função cossecante tem assíntotas verticais. O gráfico de y 23 = cossec ( x ) é simétrico em relação a? - A origem Lembre-se que o domínio da função seno é (- , ) e a imagem da função seno é [- 1, 1]. Para a função cossecante, use a notação de intervalos para descrever a) O domínio - D = (- , ) b) A imagem - I = ( - , - 1] ou [1, ) O gráfico da função cossecante não tem amplitude e não tem ponto de intersecçao em x. Qual o ponto de intersecçao em y de y 23 = cossec ( x )? - Não há ponto de intersecçao em y. Descreva o comportamento de y 23 = cossec ( x ) como crescente ou decrescente em um intervalo específico. a) (0, ] - descrescente b) [ , ) - crescente c) (, ] - crescente d) [ , 2) - decrescente Considere os gráficos do trio de funções cossecantes O período da função cossecante y = cossec ( b.x ) é o mesmo período da função seno, ex., período = . Qual é o período de y 29 ? y 30 ? y 31? y 29 : 2 y 30: y 31: 4 Considere o gráfico de y 24 no intervalo [- 2, 2] . Onde estão as assíntotas verticais de y 24 localizadas no intervalo [- 2, 2]? x = - 2, x = - , x = 0, x = , x = 2 Qual o ponto de intersecçao no eixo y de y 24 ? - Não há ponto de intersecçao em y. Que hipótese pode ser feita sobre o efeito de a em y = a.cossec ( x ) no gráfico da função cossecante? - O gráfico é comprimido verticalmente por um fator a. Aprofundando Seus Conhecimentos a) y = tg ( x ) y = tg ( x ) é uma função ímpar, pois tg ( - x ) = - tg ( x ). b) y = cotg (x) É uma função ímpar, pois cotg ( - x ) = - cotg ( x ). c) y = sec ( x ) - É uma função par, pois sec ( - x) = sec (x) d) y = cossec ( x ) - É uma função ímpar, pois cossec ( - x ) = - cossec ( x ) Descreva como se obtém o gráfico de y = | f(x) | do gráfico de y = f(x) para cada função dada abaixo. e) y = tg ( x ) y = | tg ( x ) | é obtida pelo reflexo da parte do gráfico abaixo do eixo x para o gráfico acima do eixo x. f) y = sec ( x ) y = | sec ( x ) | é obtida pelo reflexo da parte do gráfico abaixo do eixo x para o gráfico acima do eixo x. Descreva como se obtém o gráfico de y = - f( x ) do gráfico de y = f( x ) para cada função dada abaixo. g) y = cotg ( x ) - Para obter o gráfico de y = - cotg ( x ), reflita o gráfico de y = cotg ( x ) acima do eixo x. h) y = cossec ( x ) - Para obter o gráfico de y = - cossec ( x ), reflita o gráfico de y = cossec ( x ) acima do eixo x.
Tendo em vista que , a função tangente é indefinida quando cos(x) = 0 e o gráfico da função tangente intercepta o eixo x quando sen(x) = 0.
Onde estão posicionadas as assíntotas verticais para y = tg (x) no intervalo [- 2, 2]? - onde n = - 2, - 1, 0, 1
Quais são os valores de x interceptados pela função y = tg (x) no intervalo [- 2, 2]? - 2, - , 0, , 2
O gráfico de y = tg (x) é simétrico em relação a que? - Origem
Quantas vezes no intervalo [- 2, 2] o gráfico da função tangente repete esse modelo? - 4 vezes
Preveja em qual intervalo de x os valores da função tangente repetem eles mesmos. -
Considere o efeito dos diferentes valores de k no gráfico da função tangente.
Compare os gráficos de y = tg ( x ), y 1 = tg ( x + ), e y 2 = tg ( x + 2) - Eles são idênticos Baseado no efeito da constante positiva k no gráfico de y = tg ( x + k ), qual conjectura pode ser feita em relação ao período da função tangente? - O período da função tangente é . A função tangente é periódica com um período de . Para todo x no domínio, tg ( x ) = tg ( x + ). Considere os gráficos de um trio de funções tangentes no intervalo [-, ]. Identifique as Assíntotas verticais no intervalo [-, ] para y 4 e y 5 . y 4 : x = + n, onde n = -2, - 1, 0, 1 y 5 : x = - e x = Onde está o x-interceptado posicionado no intervalo [-, ] para y 4 e y 5? y 4 : - , - , 0, , y 5 : 0 Quantos ciclos estão completos no intervalo de extensão para y 3 , y 4 e y 5? y 3 : 1 y 4 : 2 y 5 : 1/2 Compare o número de ciclos completados no intervalo de extensão com o coeficiente de x em y = tg ( bx ). - O número de ciclos completados é igual ao coeficiente de x. Qual é a extensão de um ciclo (período) de y 4 e y 5? y 4 : y 5 : 2 Um ciclo de y = tg ( bx ), b > 0, é completado quando bx varia de 0 à . Se , estão . A extensão do intervalo O período da função tangente definida abaixo pode ser determinado algebricamente e confirmado graficamente. Qual é o período de y9? Baseado no gráfico de y9, Qual é a extensão de um ciclo (período)? Examine os gráficos de outro trio das funções tangentes no intervalo [-, ]. Descreva o efeito do coeficiente a no período e a forma do gráfico de y = a.tg ( x ). - a não afeta o período mas inclina o gráfico verticalmente por um fator de a. Porque a função tangente é sem limite, não existe amplitude para o gráfico da função tangente. Considere os gráficos da função tangente y11 = tg ( x ) e y12 = tan (- x) no intervalo [-, ] . Explique onde o gráfico de y = tg ( x ) tem o mesmo período do gráfico de y = tg (- x ). - Os períodos de y = tg ( x ) e y = tg (- x ) são ambos . Faça uma conjectura baseada na relação de y = tg ( x ) e y = tg (- x ). - y = tg (- x ) é o oposto de y = tg ( x ), i.e., tg ( -x) = - tg ( x) Analisando Gráficos da Função Cotangente Examine o gráfico da função cotangente no intervalo [- 2, 2]. Tendo em vista que , a função cotangente é indefinida quando sen( x ) = 0 e o gráfico da função cotangente intercepta o eixo x quando cos( x ) = 0. Onde estão as Assíntotas verticais de y = cotg ( x ) posicionada no intervalo [- 2, 2]? x = - 2, x = - , x = 0, x = , x = 2 Quais sao os x-interceptados de y = cot x no intervalo [- 2, 2]? - , - , , O gráfico de y = cotg ( x ) é simétrico com relação a que? - A origem Quantas vezes o gráfico da função cotangente repete esse modelo no intervalo [- 2, 2]? - 4 vezes Preveja em qual intervalo de x os valores da função cotangente repete eles mesmos. - Considere os gráficos de um trio de funções cotangentes no intervalo [ 0, 2]. Quantos ciclos estão completos no intervalo de extensão pi para y 15 e y 16? y 15 : 2 y 16 : 1/2 Compare o número de ciclos completos no intervalo de extensão com o coeficiente de x em y = cotg ( bx ). - O número de ciclos completos é igual ao coeficiente de x. Qual é a extensão de um ciclo (período) de y 15 ? y 16 ? y 15 : y 16 : 2 O período do gráfico da função cotangente é o mesmo que o da função tangente é dado pela extensão do intervalo, . Como a função tangente, a função cotangente é sem limites e não tem amplitude. Considere os gráficos das funções cotangentes y 17 = cotg ( x ) e y 18 = cotg ( - x ) no intervalo [ 0, ]. Explique onde o gráfico de y 17 = cotg ( x ) tem o mesmo período como o gráfico dey 18 = cotg ( - x ). - O período é o mesmo e igual a . Descreva como as duas curvas periódicas y 17 e y 18 são relacionadas. y 17 = cotg (- x ) é o oposto de y 18 = cotg ( x ), i.e., cotg (-x) = - cotg ( x) Analisando o Gráfico da Função Secante Pelo fato da função secante ser definida como a recíproca da função cosseno, i.e., , os valores da função secante são recíprocos aos valores cossenos correspondentes. Os gráficos de y 19 = cos ( x ) e y 20 = sec ( x ) são apresentados abaixo. Onde estão as assíntotas verticais de y 20 = sec ( x ) posicionados no intervalo [- 2, 2]? x = - , x = - , x = , x = Explique porque as assíntotas verticais de y 20 = sec ( x ) estão posicionadas onde estão. - Onde a função coseno é zero, a função secante tem assíntota vertical. O gráfico de y 20 = sec ( x ) é simétrica em relação a que? - Ao eixo y Recorde que o domínio da função cosseno é (- , ) e a imagem da função cosseno é [- 1, 1]. Para a função secante, use a notação intervalo para descrever o a) domínio - D = (- , ) b) Imagem - I = ( - , - 1] ou [1, ) O gráfico da função secante não tem amplitude e nem o eixo x é interceptado. Qual é o valor do eixo y que é interceptado por y 20 = sec ( x ) ? - y = 1 Descreva o comportamento de y 20 = sec ( x ) como crescente ou decrescente no intervalo específico. a) [0, ) - é crescente b) ( , ] - é decrescente c) [, ) - é decrescente d) (, 2] - é decrescente Considere os gráficos de um trio de funções secantes no intervalo [- 2, 2]. Quantos ciclos estão completos no intervalo da imagem de 2 para y 25, y 26 e y 27 ? y 25 : 1 y 26 : 2 y 27 : 1/2 Compare o número de ciclos completos no intervalo de extensão 2 com o coeficiente de x em y = sec ( bx ). - O número de ciclos completos é igual ao coeficiente de x. Qual é a extensão de um ciclo (período) de y 25 e y 26 y 26 : y 27 : 4 Um ciclo de y = sec ( bx ), b > 0, é completado com bx que varia de 0 a 2. Se , estão . A extensão do intervalo,, é o período de y = sec ( bx ). O período da função secante definida abaixo pode ser determinado algebricamente e confirmada graficamente. Qual é o período de y 28? 2 Baseado no gráfico de y 28, qual a extensão de um ciclo (período)? 2 Considere o gráfico de y 21 = 3 sec (x) no intervalo [- 2, 2]. Onde estão as assíntotas verticais de y 21 = 3 sec (x) posicionadas no intervalo [- 2, 2] ? x = - , x = - , x = , x = Qual é o valor onde o eixo y é interceptado por y 21 = 3 sec (x)? - igual à 3 Qual conjectura pode ser feita sobre o efeito de a em y = a* sec (x) no gráfico da função secante? - O gráfico é inclinado verticalmente por um fator de a. Analisando o Gráfico da Função Cossecante Pelo fato da função cossecante ser definida como a recíproca da função seno i.e., , valores da função cossecante são recíprocos dos valores seno correspondentes. Os gráficos de y 22 = sen ( x ) e y 23 = cossec ( x ) são apresentados abaixo. Onde estão as Assíntotas verticais de y 23 = cossec ( x ) posicionadas no intervalo [- 2, 2] ? x = - 2, x = - , x = 0, x = , x = 2 Explique a razão do posicionamento das assíntotas verticais de y 23 = cossec ( x ) . - Onde a função seno é zero, a função cossecante tem assíntotas verticais. O gráfico de y 23 = cossec ( x ) é simétrico em relação a? - A origem Lembre-se que o domínio da função seno é (- , ) e a imagem da função seno é [- 1, 1]. Para a função cossecante, use a notação de intervalos para descrever a) O domínio - D = (- , ) b) A imagem - I = ( - , - 1] ou [1, ) O gráfico da função cossecante não tem amplitude e não tem ponto de intersecçao em x. Qual o ponto de intersecçao em y de y 23 = cossec ( x )? - Não há ponto de intersecçao em y. Descreva o comportamento de y 23 = cossec ( x ) como crescente ou decrescente em um intervalo específico. a) (0, ] - descrescente b) [ , ) - crescente c) (, ] - crescente d) [ , 2) - decrescente Considere os gráficos do trio de funções cossecantes O período da função cossecante y = cossec ( b.x ) é o mesmo período da função seno, ex., período = . Qual é o período de y 29 ? y 30 ? y 31? y 29 : 2 y 30: y 31: 4 Considere o gráfico de y 24 no intervalo [- 2, 2] . Onde estão as assíntotas verticais de y 24 localizadas no intervalo [- 2, 2]? x = - 2, x = - , x = 0, x = , x = 2 Qual o ponto de intersecçao no eixo y de y 24 ? - Não há ponto de intersecçao em y. Que hipótese pode ser feita sobre o efeito de a em y = a.cossec ( x ) no gráfico da função cossecante? - O gráfico é comprimido verticalmente por um fator a. Aprofundando Seus Conhecimentos a) y = tg ( x ) y = tg ( x ) é uma função ímpar, pois tg ( - x ) = - tg ( x ). b) y = cotg (x) É uma função ímpar, pois cotg ( - x ) = - cotg ( x ). c) y = sec ( x ) - É uma função par, pois sec ( - x) = sec (x) d) y = cossec ( x ) - É uma função ímpar, pois cossec ( - x ) = - cossec ( x ) Descreva como se obtém o gráfico de y = | f(x) | do gráfico de y = f(x) para cada função dada abaixo. e) y = tg ( x ) y = | tg ( x ) | é obtida pelo reflexo da parte do gráfico abaixo do eixo x para o gráfico acima do eixo x. f) y = sec ( x ) y = | sec ( x ) | é obtida pelo reflexo da parte do gráfico abaixo do eixo x para o gráfico acima do eixo x. Descreva como se obtém o gráfico de y = - f( x ) do gráfico de y = f( x ) para cada função dada abaixo. g) y = cotg ( x ) - Para obter o gráfico de y = - cotg ( x ), reflita o gráfico de y = cotg ( x ) acima do eixo x. h) y = cossec ( x ) - Para obter o gráfico de y = - cossec ( x ), reflita o gráfico de y = cossec ( x ) acima do eixo x.
Compare os gráficos de y = tg ( x ), y 1 = tg ( x + ), e y 2 = tg ( x + 2) - Eles são idênticos
Baseado no efeito da constante positiva k no gráfico de y = tg ( x + k ), qual conjectura pode ser feita em relação ao período da função tangente? - O período da função tangente é .
A função tangente é periódica com um período de . Para todo x no domínio, tg ( x ) = tg ( x + ).
Considere os gráficos de um trio de funções tangentes no intervalo [-, ].
Identifique as Assíntotas verticais no intervalo [-, ] para y 4 e y 5 . y 4 : x = + n, onde n = -2, - 1, 0, 1 y 5 : x = - e x = Onde está o x-interceptado posicionado no intervalo [-, ] para y 4 e y 5? y 4 : - , - , 0, , y 5 : 0 Quantos ciclos estão completos no intervalo de extensão para y 3 , y 4 e y 5? y 3 : 1 y 4 : 2 y 5 : 1/2 Compare o número de ciclos completados no intervalo de extensão com o coeficiente de x em y = tg ( bx ). - O número de ciclos completados é igual ao coeficiente de x. Qual é a extensão de um ciclo (período) de y 4 e y 5? y 4 : y 5 : 2 Um ciclo de y = tg ( bx ), b > 0, é completado quando bx varia de 0 à . Se , estão . A extensão do intervalo O período da função tangente definida abaixo pode ser determinado algebricamente e confirmado graficamente. Qual é o período de y9? Baseado no gráfico de y9, Qual é a extensão de um ciclo (período)? Examine os gráficos de outro trio das funções tangentes no intervalo [-, ]. Descreva o efeito do coeficiente a no período e a forma do gráfico de y = a.tg ( x ). - a não afeta o período mas inclina o gráfico verticalmente por um fator de a. Porque a função tangente é sem limite, não existe amplitude para o gráfico da função tangente. Considere os gráficos da função tangente y11 = tg ( x ) e y12 = tan (- x) no intervalo [-, ] . Explique onde o gráfico de y = tg ( x ) tem o mesmo período do gráfico de y = tg (- x ). - Os períodos de y = tg ( x ) e y = tg (- x ) são ambos . Faça uma conjectura baseada na relação de y = tg ( x ) e y = tg (- x ). - y = tg (- x ) é o oposto de y = tg ( x ), i.e., tg ( -x) = - tg ( x) Analisando Gráficos da Função Cotangente Examine o gráfico da função cotangente no intervalo [- 2, 2]. Tendo em vista que , a função cotangente é indefinida quando sen( x ) = 0 e o gráfico da função cotangente intercepta o eixo x quando cos( x ) = 0. Onde estão as Assíntotas verticais de y = cotg ( x ) posicionada no intervalo [- 2, 2]? x = - 2, x = - , x = 0, x = , x = 2 Quais sao os x-interceptados de y = cot x no intervalo [- 2, 2]? - , - , , O gráfico de y = cotg ( x ) é simétrico com relação a que? - A origem Quantas vezes o gráfico da função cotangente repete esse modelo no intervalo [- 2, 2]? - 4 vezes Preveja em qual intervalo de x os valores da função cotangente repete eles mesmos. - Considere os gráficos de um trio de funções cotangentes no intervalo [ 0, 2]. Quantos ciclos estão completos no intervalo de extensão pi para y 15 e y 16? y 15 : 2 y 16 : 1/2 Compare o número de ciclos completos no intervalo de extensão com o coeficiente de x em y = cotg ( bx ). - O número de ciclos completos é igual ao coeficiente de x. Qual é a extensão de um ciclo (período) de y 15 ? y 16 ? y 15 : y 16 : 2 O período do gráfico da função cotangente é o mesmo que o da função tangente é dado pela extensão do intervalo, . Como a função tangente, a função cotangente é sem limites e não tem amplitude. Considere os gráficos das funções cotangentes y 17 = cotg ( x ) e y 18 = cotg ( - x ) no intervalo [ 0, ]. Explique onde o gráfico de y 17 = cotg ( x ) tem o mesmo período como o gráfico dey 18 = cotg ( - x ). - O período é o mesmo e igual a . Descreva como as duas curvas periódicas y 17 e y 18 são relacionadas. y 17 = cotg (- x ) é o oposto de y 18 = cotg ( x ), i.e., cotg (-x) = - cotg ( x) Analisando o Gráfico da Função Secante Pelo fato da função secante ser definida como a recíproca da função cosseno, i.e., , os valores da função secante são recíprocos aos valores cossenos correspondentes. Os gráficos de y 19 = cos ( x ) e y 20 = sec ( x ) são apresentados abaixo. Onde estão as assíntotas verticais de y 20 = sec ( x ) posicionados no intervalo [- 2, 2]? x = - , x = - , x = , x = Explique porque as assíntotas verticais de y 20 = sec ( x ) estão posicionadas onde estão. - Onde a função coseno é zero, a função secante tem assíntota vertical. O gráfico de y 20 = sec ( x ) é simétrica em relação a que? - Ao eixo y Recorde que o domínio da função cosseno é (- , ) e a imagem da função cosseno é [- 1, 1]. Para a função secante, use a notação intervalo para descrever o a) domínio - D = (- , ) b) Imagem - I = ( - , - 1] ou [1, ) O gráfico da função secante não tem amplitude e nem o eixo x é interceptado. Qual é o valor do eixo y que é interceptado por y 20 = sec ( x ) ? - y = 1 Descreva o comportamento de y 20 = sec ( x ) como crescente ou decrescente no intervalo específico. a) [0, ) - é crescente b) ( , ] - é decrescente c) [, ) - é decrescente d) (, 2] - é decrescente Considere os gráficos de um trio de funções secantes no intervalo [- 2, 2]. Quantos ciclos estão completos no intervalo da imagem de 2 para y 25, y 26 e y 27 ? y 25 : 1 y 26 : 2 y 27 : 1/2 Compare o número de ciclos completos no intervalo de extensão 2 com o coeficiente de x em y = sec ( bx ). - O número de ciclos completos é igual ao coeficiente de x. Qual é a extensão de um ciclo (período) de y 25 e y 26 y 26 : y 27 : 4 Um ciclo de y = sec ( bx ), b > 0, é completado com bx que varia de 0 a 2. Se , estão . A extensão do intervalo,, é o período de y = sec ( bx ). O período da função secante definida abaixo pode ser determinado algebricamente e confirmada graficamente. Qual é o período de y 28? 2 Baseado no gráfico de y 28, qual a extensão de um ciclo (período)? 2 Considere o gráfico de y 21 = 3 sec (x) no intervalo [- 2, 2]. Onde estão as assíntotas verticais de y 21 = 3 sec (x) posicionadas no intervalo [- 2, 2] ? x = - , x = - , x = , x = Qual é o valor onde o eixo y é interceptado por y 21 = 3 sec (x)? - igual à 3 Qual conjectura pode ser feita sobre o efeito de a em y = a* sec (x) no gráfico da função secante? - O gráfico é inclinado verticalmente por um fator de a. Analisando o Gráfico da Função Cossecante Pelo fato da função cossecante ser definida como a recíproca da função seno i.e., , valores da função cossecante são recíprocos dos valores seno correspondentes. Os gráficos de y 22 = sen ( x ) e y 23 = cossec ( x ) são apresentados abaixo. Onde estão as Assíntotas verticais de y 23 = cossec ( x ) posicionadas no intervalo [- 2, 2] ? x = - 2, x = - , x = 0, x = , x = 2 Explique a razão do posicionamento das assíntotas verticais de y 23 = cossec ( x ) . - Onde a função seno é zero, a função cossecante tem assíntotas verticais. O gráfico de y 23 = cossec ( x ) é simétrico em relação a? - A origem Lembre-se que o domínio da função seno é (- , ) e a imagem da função seno é [- 1, 1]. Para a função cossecante, use a notação de intervalos para descrever a) O domínio - D = (- , ) b) A imagem - I = ( - , - 1] ou [1, ) O gráfico da função cossecante não tem amplitude e não tem ponto de intersecçao em x. Qual o ponto de intersecçao em y de y 23 = cossec ( x )? - Não há ponto de intersecçao em y. Descreva o comportamento de y 23 = cossec ( x ) como crescente ou decrescente em um intervalo específico. a) (0, ] - descrescente b) [ , ) - crescente c) (, ] - crescente d) [ , 2) - decrescente Considere os gráficos do trio de funções cossecantes O período da função cossecante y = cossec ( b.x ) é o mesmo período da função seno, ex., período = . Qual é o período de y 29 ? y 30 ? y 31? y 29 : 2 y 30: y 31: 4 Considere o gráfico de y 24 no intervalo [- 2, 2] . Onde estão as assíntotas verticais de y 24 localizadas no intervalo [- 2, 2]? x = - 2, x = - , x = 0, x = , x = 2 Qual o ponto de intersecçao no eixo y de y 24 ? - Não há ponto de intersecçao em y. Que hipótese pode ser feita sobre o efeito de a em y = a.cossec ( x ) no gráfico da função cossecante? - O gráfico é comprimido verticalmente por um fator a. Aprofundando Seus Conhecimentos a) y = tg ( x ) y = tg ( x ) é uma função ímpar, pois tg ( - x ) = - tg ( x ). b) y = cotg (x) É uma função ímpar, pois cotg ( - x ) = - cotg ( x ). c) y = sec ( x ) - É uma função par, pois sec ( - x) = sec (x) d) y = cossec ( x ) - É uma função ímpar, pois cossec ( - x ) = - cossec ( x ) Descreva como se obtém o gráfico de y = | f(x) | do gráfico de y = f(x) para cada função dada abaixo. e) y = tg ( x ) y = | tg ( x ) | é obtida pelo reflexo da parte do gráfico abaixo do eixo x para o gráfico acima do eixo x. f) y = sec ( x ) y = | sec ( x ) | é obtida pelo reflexo da parte do gráfico abaixo do eixo x para o gráfico acima do eixo x. Descreva como se obtém o gráfico de y = - f( x ) do gráfico de y = f( x ) para cada função dada abaixo. g) y = cotg ( x ) - Para obter o gráfico de y = - cotg ( x ), reflita o gráfico de y = cotg ( x ) acima do eixo x. h) y = cossec ( x ) - Para obter o gráfico de y = - cossec ( x ), reflita o gráfico de y = cossec ( x ) acima do eixo x.
Identifique as Assíntotas verticais no intervalo [-, ] para y 4 e y 5 .
y 4 : x = + n, onde n = -2, - 1, 0, 1 y 5 : x = - e x =
Onde está o x-interceptado posicionado no intervalo [-, ] para y 4 e y 5? y 4 : - , - , 0, , y 5 : 0
Quantos ciclos estão completos no intervalo de extensão para y 3 , y 4 e y 5? y 3 : 1 y 4 : 2 y 5 : 1/2
Compare o número de ciclos completados no intervalo de extensão com o coeficiente de x em y = tg ( bx ). - O número de ciclos completados é igual ao coeficiente de x.
Qual é a extensão de um ciclo (período) de y 4 e y 5? y 4 : y 5 : 2
Um ciclo de y = tg ( bx ), b > 0, é completado quando bx varia de 0 à . Se , estão . A extensão do intervalo
O período da função tangente definida abaixo pode ser determinado algebricamente e confirmado graficamente. Qual é o período de y9? Baseado no gráfico de y9, Qual é a extensão de um ciclo (período)? Examine os gráficos de outro trio das funções tangentes no intervalo [-, ]. Descreva o efeito do coeficiente a no período e a forma do gráfico de y = a.tg ( x ). - a não afeta o período mas inclina o gráfico verticalmente por um fator de a. Porque a função tangente é sem limite, não existe amplitude para o gráfico da função tangente. Considere os gráficos da função tangente y11 = tg ( x ) e y12 = tan (- x) no intervalo [-, ] . Explique onde o gráfico de y = tg ( x ) tem o mesmo período do gráfico de y = tg (- x ). - Os períodos de y = tg ( x ) e y = tg (- x ) são ambos . Faça uma conjectura baseada na relação de y = tg ( x ) e y = tg (- x ). - y = tg (- x ) é o oposto de y = tg ( x ), i.e., tg ( -x) = - tg ( x) Analisando Gráficos da Função Cotangente Examine o gráfico da função cotangente no intervalo [- 2, 2]. Tendo em vista que , a função cotangente é indefinida quando sen( x ) = 0 e o gráfico da função cotangente intercepta o eixo x quando cos( x ) = 0. Onde estão as Assíntotas verticais de y = cotg ( x ) posicionada no intervalo [- 2, 2]? x = - 2, x = - , x = 0, x = , x = 2 Quais sao os x-interceptados de y = cot x no intervalo [- 2, 2]? - , - , , O gráfico de y = cotg ( x ) é simétrico com relação a que? - A origem Quantas vezes o gráfico da função cotangente repete esse modelo no intervalo [- 2, 2]? - 4 vezes Preveja em qual intervalo de x os valores da função cotangente repete eles mesmos. - Considere os gráficos de um trio de funções cotangentes no intervalo [ 0, 2]. Quantos ciclos estão completos no intervalo de extensão pi para y 15 e y 16? y 15 : 2 y 16 : 1/2 Compare o número de ciclos completos no intervalo de extensão com o coeficiente de x em y = cotg ( bx ). - O número de ciclos completos é igual ao coeficiente de x. Qual é a extensão de um ciclo (período) de y 15 ? y 16 ? y 15 : y 16 : 2 O período do gráfico da função cotangente é o mesmo que o da função tangente é dado pela extensão do intervalo, . Como a função tangente, a função cotangente é sem limites e não tem amplitude. Considere os gráficos das funções cotangentes y 17 = cotg ( x ) e y 18 = cotg ( - x ) no intervalo [ 0, ]. Explique onde o gráfico de y 17 = cotg ( x ) tem o mesmo período como o gráfico dey 18 = cotg ( - x ). - O período é o mesmo e igual a . Descreva como as duas curvas periódicas y 17 e y 18 são relacionadas. y 17 = cotg (- x ) é o oposto de y 18 = cotg ( x ), i.e., cotg (-x) = - cotg ( x) Analisando o Gráfico da Função Secante Pelo fato da função secante ser definida como a recíproca da função cosseno, i.e., , os valores da função secante são recíprocos aos valores cossenos correspondentes. Os gráficos de y 19 = cos ( x ) e y 20 = sec ( x ) são apresentados abaixo. Onde estão as assíntotas verticais de y 20 = sec ( x ) posicionados no intervalo [- 2, 2]? x = - , x = - , x = , x = Explique porque as assíntotas verticais de y 20 = sec ( x ) estão posicionadas onde estão. - Onde a função coseno é zero, a função secante tem assíntota vertical. O gráfico de y 20 = sec ( x ) é simétrica em relação a que? - Ao eixo y Recorde que o domínio da função cosseno é (- , ) e a imagem da função cosseno é [- 1, 1]. Para a função secante, use a notação intervalo para descrever o a) domínio - D = (- , ) b) Imagem - I = ( - , - 1] ou [1, ) O gráfico da função secante não tem amplitude e nem o eixo x é interceptado. Qual é o valor do eixo y que é interceptado por y 20 = sec ( x ) ? - y = 1 Descreva o comportamento de y 20 = sec ( x ) como crescente ou decrescente no intervalo específico. a) [0, ) - é crescente b) ( , ] - é decrescente c) [, ) - é decrescente d) (, 2] - é decrescente Considere os gráficos de um trio de funções secantes no intervalo [- 2, 2]. Quantos ciclos estão completos no intervalo da imagem de 2 para y 25, y 26 e y 27 ? y 25 : 1 y 26 : 2 y 27 : 1/2 Compare o número de ciclos completos no intervalo de extensão 2 com o coeficiente de x em y = sec ( bx ). - O número de ciclos completos é igual ao coeficiente de x. Qual é a extensão de um ciclo (período) de y 25 e y 26 y 26 : y 27 : 4 Um ciclo de y = sec ( bx ), b > 0, é completado com bx que varia de 0 a 2. Se , estão . A extensão do intervalo,, é o período de y = sec ( bx ). O período da função secante definida abaixo pode ser determinado algebricamente e confirmada graficamente. Qual é o período de y 28? 2 Baseado no gráfico de y 28, qual a extensão de um ciclo (período)? 2 Considere o gráfico de y 21 = 3 sec (x) no intervalo [- 2, 2]. Onde estão as assíntotas verticais de y 21 = 3 sec (x) posicionadas no intervalo [- 2, 2] ? x = - , x = - , x = , x = Qual é o valor onde o eixo y é interceptado por y 21 = 3 sec (x)? - igual à 3 Qual conjectura pode ser feita sobre o efeito de a em y = a* sec (x) no gráfico da função secante? - O gráfico é inclinado verticalmente por um fator de a. Analisando o Gráfico da Função Cossecante Pelo fato da função cossecante ser definida como a recíproca da função seno i.e., , valores da função cossecante são recíprocos dos valores seno correspondentes. Os gráficos de y 22 = sen ( x ) e y 23 = cossec ( x ) são apresentados abaixo. Onde estão as Assíntotas verticais de y 23 = cossec ( x ) posicionadas no intervalo [- 2, 2] ? x = - 2, x = - , x = 0, x = , x = 2 Explique a razão do posicionamento das assíntotas verticais de y 23 = cossec ( x ) . - Onde a função seno é zero, a função cossecante tem assíntotas verticais. O gráfico de y 23 = cossec ( x ) é simétrico em relação a? - A origem Lembre-se que o domínio da função seno é (- , ) e a imagem da função seno é [- 1, 1]. Para a função cossecante, use a notação de intervalos para descrever a) O domínio - D = (- , ) b) A imagem - I = ( - , - 1] ou [1, ) O gráfico da função cossecante não tem amplitude e não tem ponto de intersecçao em x. Qual o ponto de intersecçao em y de y 23 = cossec ( x )? - Não há ponto de intersecçao em y. Descreva o comportamento de y 23 = cossec ( x ) como crescente ou decrescente em um intervalo específico. a) (0, ] - descrescente b) [ , ) - crescente c) (, ] - crescente d) [ , 2) - decrescente Considere os gráficos do trio de funções cossecantes O período da função cossecante y = cossec ( b.x ) é o mesmo período da função seno, ex., período = . Qual é o período de y 29 ? y 30 ? y 31? y 29 : 2 y 30: y 31: 4 Considere o gráfico de y 24 no intervalo [- 2, 2] . Onde estão as assíntotas verticais de y 24 localizadas no intervalo [- 2, 2]? x = - 2, x = - , x = 0, x = , x = 2 Qual o ponto de intersecçao no eixo y de y 24 ? - Não há ponto de intersecçao em y. Que hipótese pode ser feita sobre o efeito de a em y = a.cossec ( x ) no gráfico da função cossecante? - O gráfico é comprimido verticalmente por um fator a. Aprofundando Seus Conhecimentos a) y = tg ( x ) y = tg ( x ) é uma função ímpar, pois tg ( - x ) = - tg ( x ). b) y = cotg (x) É uma função ímpar, pois cotg ( - x ) = - cotg ( x ). c) y = sec ( x ) - É uma função par, pois sec ( - x) = sec (x) d) y = cossec ( x ) - É uma função ímpar, pois cossec ( - x ) = - cossec ( x ) Descreva como se obtém o gráfico de y = | f(x) | do gráfico de y = f(x) para cada função dada abaixo. e) y = tg ( x ) y = | tg ( x ) | é obtida pelo reflexo da parte do gráfico abaixo do eixo x para o gráfico acima do eixo x. f) y = sec ( x ) y = | sec ( x ) | é obtida pelo reflexo da parte do gráfico abaixo do eixo x para o gráfico acima do eixo x. Descreva como se obtém o gráfico de y = - f( x ) do gráfico de y = f( x ) para cada função dada abaixo. g) y = cotg ( x ) - Para obter o gráfico de y = - cotg ( x ), reflita o gráfico de y = cotg ( x ) acima do eixo x. h) y = cossec ( x ) - Para obter o gráfico de y = - cossec ( x ), reflita o gráfico de y = cossec ( x ) acima do eixo x.
Qual é o período de y9?
Baseado no gráfico de y9, Qual é a extensão de um ciclo (período)?
Examine os gráficos de outro trio das funções tangentes no intervalo [-, ].
Descreva o efeito do coeficiente a no período e a forma do gráfico de y = a.tg ( x ). - a não afeta o período mas inclina o gráfico verticalmente por um fator de a. Porque a função tangente é sem limite, não existe amplitude para o gráfico da função tangente. Considere os gráficos da função tangente y11 = tg ( x ) e y12 = tan (- x) no intervalo [-, ] . Explique onde o gráfico de y = tg ( x ) tem o mesmo período do gráfico de y = tg (- x ). - Os períodos de y = tg ( x ) e y = tg (- x ) são ambos . Faça uma conjectura baseada na relação de y = tg ( x ) e y = tg (- x ). - y = tg (- x ) é o oposto de y = tg ( x ), i.e., tg ( -x) = - tg ( x) Analisando Gráficos da Função Cotangente Examine o gráfico da função cotangente no intervalo [- 2, 2]. Tendo em vista que , a função cotangente é indefinida quando sen( x ) = 0 e o gráfico da função cotangente intercepta o eixo x quando cos( x ) = 0. Onde estão as Assíntotas verticais de y = cotg ( x ) posicionada no intervalo [- 2, 2]? x = - 2, x = - , x = 0, x = , x = 2 Quais sao os x-interceptados de y = cot x no intervalo [- 2, 2]? - , - , , O gráfico de y = cotg ( x ) é simétrico com relação a que? - A origem Quantas vezes o gráfico da função cotangente repete esse modelo no intervalo [- 2, 2]? - 4 vezes Preveja em qual intervalo de x os valores da função cotangente repete eles mesmos. - Considere os gráficos de um trio de funções cotangentes no intervalo [ 0, 2]. Quantos ciclos estão completos no intervalo de extensão pi para y 15 e y 16? y 15 : 2 y 16 : 1/2 Compare o número de ciclos completos no intervalo de extensão com o coeficiente de x em y = cotg ( bx ). - O número de ciclos completos é igual ao coeficiente de x. Qual é a extensão de um ciclo (período) de y 15 ? y 16 ? y 15 : y 16 : 2 O período do gráfico da função cotangente é o mesmo que o da função tangente é dado pela extensão do intervalo, . Como a função tangente, a função cotangente é sem limites e não tem amplitude. Considere os gráficos das funções cotangentes y 17 = cotg ( x ) e y 18 = cotg ( - x ) no intervalo [ 0, ]. Explique onde o gráfico de y 17 = cotg ( x ) tem o mesmo período como o gráfico dey 18 = cotg ( - x ). - O período é o mesmo e igual a . Descreva como as duas curvas periódicas y 17 e y 18 são relacionadas. y 17 = cotg (- x ) é o oposto de y 18 = cotg ( x ), i.e., cotg (-x) = - cotg ( x) Analisando o Gráfico da Função Secante Pelo fato da função secante ser definida como a recíproca da função cosseno, i.e., , os valores da função secante são recíprocos aos valores cossenos correspondentes. Os gráficos de y 19 = cos ( x ) e y 20 = sec ( x ) são apresentados abaixo. Onde estão as assíntotas verticais de y 20 = sec ( x ) posicionados no intervalo [- 2, 2]? x = - , x = - , x = , x = Explique porque as assíntotas verticais de y 20 = sec ( x ) estão posicionadas onde estão. - Onde a função coseno é zero, a função secante tem assíntota vertical. O gráfico de y 20 = sec ( x ) é simétrica em relação a que? - Ao eixo y Recorde que o domínio da função cosseno é (- , ) e a imagem da função cosseno é [- 1, 1]. Para a função secante, use a notação intervalo para descrever o a) domínio - D = (- , ) b) Imagem - I = ( - , - 1] ou [1, ) O gráfico da função secante não tem amplitude e nem o eixo x é interceptado. Qual é o valor do eixo y que é interceptado por y 20 = sec ( x ) ? - y = 1 Descreva o comportamento de y 20 = sec ( x ) como crescente ou decrescente no intervalo específico. a) [0, ) - é crescente b) ( , ] - é decrescente c) [, ) - é decrescente d) (, 2] - é decrescente Considere os gráficos de um trio de funções secantes no intervalo [- 2, 2]. Quantos ciclos estão completos no intervalo da imagem de 2 para y 25, y 26 e y 27 ? y 25 : 1 y 26 : 2 y 27 : 1/2 Compare o número de ciclos completos no intervalo de extensão 2 com o coeficiente de x em y = sec ( bx ). - O número de ciclos completos é igual ao coeficiente de x. Qual é a extensão de um ciclo (período) de y 25 e y 26 y 26 : y 27 : 4 Um ciclo de y = sec ( bx ), b > 0, é completado com bx que varia de 0 a 2. Se , estão . A extensão do intervalo,, é o período de y = sec ( bx ). O período da função secante definida abaixo pode ser determinado algebricamente e confirmada graficamente. Qual é o período de y 28? 2 Baseado no gráfico de y 28, qual a extensão de um ciclo (período)? 2 Considere o gráfico de y 21 = 3 sec (x) no intervalo [- 2, 2]. Onde estão as assíntotas verticais de y 21 = 3 sec (x) posicionadas no intervalo [- 2, 2] ? x = - , x = - , x = , x = Qual é o valor onde o eixo y é interceptado por y 21 = 3 sec (x)? - igual à 3 Qual conjectura pode ser feita sobre o efeito de a em y = a* sec (x) no gráfico da função secante? - O gráfico é inclinado verticalmente por um fator de a. Analisando o Gráfico da Função Cossecante Pelo fato da função cossecante ser definida como a recíproca da função seno i.e., , valores da função cossecante são recíprocos dos valores seno correspondentes. Os gráficos de y 22 = sen ( x ) e y 23 = cossec ( x ) são apresentados abaixo. Onde estão as Assíntotas verticais de y 23 = cossec ( x ) posicionadas no intervalo [- 2, 2] ? x = - 2, x = - , x = 0, x = , x = 2 Explique a razão do posicionamento das assíntotas verticais de y 23 = cossec ( x ) . - Onde a função seno é zero, a função cossecante tem assíntotas verticais. O gráfico de y 23 = cossec ( x ) é simétrico em relação a? - A origem Lembre-se que o domínio da função seno é (- , ) e a imagem da função seno é [- 1, 1]. Para a função cossecante, use a notação de intervalos para descrever a) O domínio - D = (- , ) b) A imagem - I = ( - , - 1] ou [1, ) O gráfico da função cossecante não tem amplitude e não tem ponto de intersecçao em x. Qual o ponto de intersecçao em y de y 23 = cossec ( x )? - Não há ponto de intersecçao em y. Descreva o comportamento de y 23 = cossec ( x ) como crescente ou decrescente em um intervalo específico. a) (0, ] - descrescente b) [ , ) - crescente c) (, ] - crescente d) [ , 2) - decrescente Considere os gráficos do trio de funções cossecantes O período da função cossecante y = cossec ( b.x ) é o mesmo período da função seno, ex., período = . Qual é o período de y 29 ? y 30 ? y 31? y 29 : 2 y 30: y 31: 4 Considere o gráfico de y 24 no intervalo [- 2, 2] . Onde estão as assíntotas verticais de y 24 localizadas no intervalo [- 2, 2]? x = - 2, x = - , x = 0, x = , x = 2 Qual o ponto de intersecçao no eixo y de y 24 ? - Não há ponto de intersecçao em y. Que hipótese pode ser feita sobre o efeito de a em y = a.cossec ( x ) no gráfico da função cossecante? - O gráfico é comprimido verticalmente por um fator a. Aprofundando Seus Conhecimentos a) y = tg ( x ) y = tg ( x ) é uma função ímpar, pois tg ( - x ) = - tg ( x ). b) y = cotg (x) É uma função ímpar, pois cotg ( - x ) = - cotg ( x ). c) y = sec ( x ) - É uma função par, pois sec ( - x) = sec (x) d) y = cossec ( x ) - É uma função ímpar, pois cossec ( - x ) = - cossec ( x ) Descreva como se obtém o gráfico de y = | f(x) | do gráfico de y = f(x) para cada função dada abaixo. e) y = tg ( x ) y = | tg ( x ) | é obtida pelo reflexo da parte do gráfico abaixo do eixo x para o gráfico acima do eixo x. f) y = sec ( x ) y = | sec ( x ) | é obtida pelo reflexo da parte do gráfico abaixo do eixo x para o gráfico acima do eixo x. Descreva como se obtém o gráfico de y = - f( x ) do gráfico de y = f( x ) para cada função dada abaixo. g) y = cotg ( x ) - Para obter o gráfico de y = - cotg ( x ), reflita o gráfico de y = cotg ( x ) acima do eixo x. h) y = cossec ( x ) - Para obter o gráfico de y = - cossec ( x ), reflita o gráfico de y = cossec ( x ) acima do eixo x.
Descreva o efeito do coeficiente a no período e a forma do gráfico de y = a.tg ( x ). - a não afeta o período mas inclina o gráfico verticalmente por um fator de a.
Porque a função tangente é sem limite, não existe amplitude para o gráfico da função tangente. Considere os gráficos da função tangente y11 = tg ( x ) e y12 = tan (- x) no intervalo [-, ] .
Explique onde o gráfico de y = tg ( x ) tem o mesmo período do gráfico de y = tg (- x ). - Os períodos de y = tg ( x ) e y = tg (- x ) são ambos . Faça uma conjectura baseada na relação de y = tg ( x ) e y = tg (- x ). - y = tg (- x ) é o oposto de y = tg ( x ), i.e., tg ( -x) = - tg ( x) Analisando Gráficos da Função Cotangente Examine o gráfico da função cotangente no intervalo [- 2, 2]. Tendo em vista que , a função cotangente é indefinida quando sen( x ) = 0 e o gráfico da função cotangente intercepta o eixo x quando cos( x ) = 0. Onde estão as Assíntotas verticais de y = cotg ( x ) posicionada no intervalo [- 2, 2]? x = - 2, x = - , x = 0, x = , x = 2 Quais sao os x-interceptados de y = cot x no intervalo [- 2, 2]? - , - , , O gráfico de y = cotg ( x ) é simétrico com relação a que? - A origem Quantas vezes o gráfico da função cotangente repete esse modelo no intervalo [- 2, 2]? - 4 vezes Preveja em qual intervalo de x os valores da função cotangente repete eles mesmos. - Considere os gráficos de um trio de funções cotangentes no intervalo [ 0, 2]. Quantos ciclos estão completos no intervalo de extensão pi para y 15 e y 16? y 15 : 2 y 16 : 1/2 Compare o número de ciclos completos no intervalo de extensão com o coeficiente de x em y = cotg ( bx ). - O número de ciclos completos é igual ao coeficiente de x. Qual é a extensão de um ciclo (período) de y 15 ? y 16 ? y 15 : y 16 : 2 O período do gráfico da função cotangente é o mesmo que o da função tangente é dado pela extensão do intervalo, . Como a função tangente, a função cotangente é sem limites e não tem amplitude. Considere os gráficos das funções cotangentes y 17 = cotg ( x ) e y 18 = cotg ( - x ) no intervalo [ 0, ]. Explique onde o gráfico de y 17 = cotg ( x ) tem o mesmo período como o gráfico dey 18 = cotg ( - x ). - O período é o mesmo e igual a . Descreva como as duas curvas periódicas y 17 e y 18 são relacionadas. y 17 = cotg (- x ) é o oposto de y 18 = cotg ( x ), i.e., cotg (-x) = - cotg ( x) Analisando o Gráfico da Função Secante Pelo fato da função secante ser definida como a recíproca da função cosseno, i.e., , os valores da função secante são recíprocos aos valores cossenos correspondentes. Os gráficos de y 19 = cos ( x ) e y 20 = sec ( x ) são apresentados abaixo. Onde estão as assíntotas verticais de y 20 = sec ( x ) posicionados no intervalo [- 2, 2]? x = - , x = - , x = , x = Explique porque as assíntotas verticais de y 20 = sec ( x ) estão posicionadas onde estão. - Onde a função coseno é zero, a função secante tem assíntota vertical. O gráfico de y 20 = sec ( x ) é simétrica em relação a que? - Ao eixo y Recorde que o domínio da função cosseno é (- , ) e a imagem da função cosseno é [- 1, 1]. Para a função secante, use a notação intervalo para descrever o a) domínio - D = (- , ) b) Imagem - I = ( - , - 1] ou [1, ) O gráfico da função secante não tem amplitude e nem o eixo x é interceptado. Qual é o valor do eixo y que é interceptado por y 20 = sec ( x ) ? - y = 1 Descreva o comportamento de y 20 = sec ( x ) como crescente ou decrescente no intervalo específico. a) [0, ) - é crescente b) ( , ] - é decrescente c) [, ) - é decrescente d) (, 2] - é decrescente Considere os gráficos de um trio de funções secantes no intervalo [- 2, 2]. Quantos ciclos estão completos no intervalo da imagem de 2 para y 25, y 26 e y 27 ? y 25 : 1 y 26 : 2 y 27 : 1/2 Compare o número de ciclos completos no intervalo de extensão 2 com o coeficiente de x em y = sec ( bx ). - O número de ciclos completos é igual ao coeficiente de x. Qual é a extensão de um ciclo (período) de y 25 e y 26 y 26 : y 27 : 4 Um ciclo de y = sec ( bx ), b > 0, é completado com bx que varia de 0 a 2. Se , estão . A extensão do intervalo,, é o período de y = sec ( bx ). O período da função secante definida abaixo pode ser determinado algebricamente e confirmada graficamente. Qual é o período de y 28? 2 Baseado no gráfico de y 28, qual a extensão de um ciclo (período)? 2 Considere o gráfico de y 21 = 3 sec (x) no intervalo [- 2, 2]. Onde estão as assíntotas verticais de y 21 = 3 sec (x) posicionadas no intervalo [- 2, 2] ? x = - , x = - , x = , x = Qual é o valor onde o eixo y é interceptado por y 21 = 3 sec (x)? - igual à 3 Qual conjectura pode ser feita sobre o efeito de a em y = a* sec (x) no gráfico da função secante? - O gráfico é inclinado verticalmente por um fator de a. Analisando o Gráfico da Função Cossecante Pelo fato da função cossecante ser definida como a recíproca da função seno i.e., , valores da função cossecante são recíprocos dos valores seno correspondentes. Os gráficos de y 22 = sen ( x ) e y 23 = cossec ( x ) são apresentados abaixo. Onde estão as Assíntotas verticais de y 23 = cossec ( x ) posicionadas no intervalo [- 2, 2] ? x = - 2, x = - , x = 0, x = , x = 2 Explique a razão do posicionamento das assíntotas verticais de y 23 = cossec ( x ) . - Onde a função seno é zero, a função cossecante tem assíntotas verticais. O gráfico de y 23 = cossec ( x ) é simétrico em relação a? - A origem Lembre-se que o domínio da função seno é (- , ) e a imagem da função seno é [- 1, 1]. Para a função cossecante, use a notação de intervalos para descrever a) O domínio - D = (- , ) b) A imagem - I = ( - , - 1] ou [1, ) O gráfico da função cossecante não tem amplitude e não tem ponto de intersecçao em x. Qual o ponto de intersecçao em y de y 23 = cossec ( x )? - Não há ponto de intersecçao em y. Descreva o comportamento de y 23 = cossec ( x ) como crescente ou decrescente em um intervalo específico. a) (0, ] - descrescente b) [ , ) - crescente c) (, ] - crescente d) [ , 2) - decrescente Considere os gráficos do trio de funções cossecantes O período da função cossecante y = cossec ( b.x ) é o mesmo período da função seno, ex., período = . Qual é o período de y 29 ? y 30 ? y 31? y 29 : 2 y 30: y 31: 4 Considere o gráfico de y 24 no intervalo [- 2, 2] . Onde estão as assíntotas verticais de y 24 localizadas no intervalo [- 2, 2]? x = - 2, x = - , x = 0, x = , x = 2 Qual o ponto de intersecçao no eixo y de y 24 ? - Não há ponto de intersecçao em y. Que hipótese pode ser feita sobre o efeito de a em y = a.cossec ( x ) no gráfico da função cossecante? - O gráfico é comprimido verticalmente por um fator a. Aprofundando Seus Conhecimentos a) y = tg ( x ) y = tg ( x ) é uma função ímpar, pois tg ( - x ) = - tg ( x ). b) y = cotg (x) É uma função ímpar, pois cotg ( - x ) = - cotg ( x ). c) y = sec ( x ) - É uma função par, pois sec ( - x) = sec (x) d) y = cossec ( x ) - É uma função ímpar, pois cossec ( - x ) = - cossec ( x ) Descreva como se obtém o gráfico de y = | f(x) | do gráfico de y = f(x) para cada função dada abaixo. e) y = tg ( x ) y = | tg ( x ) | é obtida pelo reflexo da parte do gráfico abaixo do eixo x para o gráfico acima do eixo x. f) y = sec ( x ) y = | sec ( x ) | é obtida pelo reflexo da parte do gráfico abaixo do eixo x para o gráfico acima do eixo x. Descreva como se obtém o gráfico de y = - f( x ) do gráfico de y = f( x ) para cada função dada abaixo. g) y = cotg ( x ) - Para obter o gráfico de y = - cotg ( x ), reflita o gráfico de y = cotg ( x ) acima do eixo x. h) y = cossec ( x ) - Para obter o gráfico de y = - cossec ( x ), reflita o gráfico de y = cossec ( x ) acima do eixo x.
Explique onde o gráfico de y = tg ( x ) tem o mesmo período do gráfico de y = tg (- x ). - Os períodos de y = tg ( x ) e y = tg (- x ) são ambos .
Faça uma conjectura baseada na relação de y = tg ( x ) e y = tg (- x ). - y = tg (- x ) é o oposto de y = tg ( x ), i.e., tg ( -x) = - tg ( x)
Analisando Gráficos da Função Cotangente
Examine o gráfico da função cotangente no intervalo [- 2, 2].
Tendo em vista que , a função cotangente é indefinida quando sen( x ) = 0 e o gráfico da função cotangente intercepta o eixo x quando cos( x ) = 0. Onde estão as Assíntotas verticais de y = cotg ( x ) posicionada no intervalo [- 2, 2]? x = - 2, x = - , x = 0, x = , x = 2 Quais sao os x-interceptados de y = cot x no intervalo [- 2, 2]? - , - , , O gráfico de y = cotg ( x ) é simétrico com relação a que? - A origem Quantas vezes o gráfico da função cotangente repete esse modelo no intervalo [- 2, 2]? - 4 vezes Preveja em qual intervalo de x os valores da função cotangente repete eles mesmos. - Considere os gráficos de um trio de funções cotangentes no intervalo [ 0, 2]. Quantos ciclos estão completos no intervalo de extensão pi para y 15 e y 16? y 15 : 2 y 16 : 1/2 Compare o número de ciclos completos no intervalo de extensão com o coeficiente de x em y = cotg ( bx ). - O número de ciclos completos é igual ao coeficiente de x. Qual é a extensão de um ciclo (período) de y 15 ? y 16 ? y 15 : y 16 : 2 O período do gráfico da função cotangente é o mesmo que o da função tangente é dado pela extensão do intervalo, . Como a função tangente, a função cotangente é sem limites e não tem amplitude. Considere os gráficos das funções cotangentes y 17 = cotg ( x ) e y 18 = cotg ( - x ) no intervalo [ 0, ]. Explique onde o gráfico de y 17 = cotg ( x ) tem o mesmo período como o gráfico dey 18 = cotg ( - x ). - O período é o mesmo e igual a . Descreva como as duas curvas periódicas y 17 e y 18 são relacionadas. y 17 = cotg (- x ) é o oposto de y 18 = cotg ( x ), i.e., cotg (-x) = - cotg ( x) Analisando o Gráfico da Função Secante Pelo fato da função secante ser definida como a recíproca da função cosseno, i.e., , os valores da função secante são recíprocos aos valores cossenos correspondentes. Os gráficos de y 19 = cos ( x ) e y 20 = sec ( x ) são apresentados abaixo. Onde estão as assíntotas verticais de y 20 = sec ( x ) posicionados no intervalo [- 2, 2]? x = - , x = - , x = , x = Explique porque as assíntotas verticais de y 20 = sec ( x ) estão posicionadas onde estão. - Onde a função coseno é zero, a função secante tem assíntota vertical. O gráfico de y 20 = sec ( x ) é simétrica em relação a que? - Ao eixo y Recorde que o domínio da função cosseno é (- , ) e a imagem da função cosseno é [- 1, 1]. Para a função secante, use a notação intervalo para descrever o a) domínio - D = (- , ) b) Imagem - I = ( - , - 1] ou [1, ) O gráfico da função secante não tem amplitude e nem o eixo x é interceptado. Qual é o valor do eixo y que é interceptado por y 20 = sec ( x ) ? - y = 1 Descreva o comportamento de y 20 = sec ( x ) como crescente ou decrescente no intervalo específico. a) [0, ) - é crescente b) ( , ] - é decrescente c) [, ) - é decrescente d) (, 2] - é decrescente Considere os gráficos de um trio de funções secantes no intervalo [- 2, 2]. Quantos ciclos estão completos no intervalo da imagem de 2 para y 25, y 26 e y 27 ? y 25 : 1 y 26 : 2 y 27 : 1/2 Compare o número de ciclos completos no intervalo de extensão 2 com o coeficiente de x em y = sec ( bx ). - O número de ciclos completos é igual ao coeficiente de x. Qual é a extensão de um ciclo (período) de y 25 e y 26 y 26 : y 27 : 4 Um ciclo de y = sec ( bx ), b > 0, é completado com bx que varia de 0 a 2. Se , estão . A extensão do intervalo,, é o período de y = sec ( bx ). O período da função secante definida abaixo pode ser determinado algebricamente e confirmada graficamente. Qual é o período de y 28? 2 Baseado no gráfico de y 28, qual a extensão de um ciclo (período)? 2 Considere o gráfico de y 21 = 3 sec (x) no intervalo [- 2, 2]. Onde estão as assíntotas verticais de y 21 = 3 sec (x) posicionadas no intervalo [- 2, 2] ? x = - , x = - , x = , x = Qual é o valor onde o eixo y é interceptado por y 21 = 3 sec (x)? - igual à 3 Qual conjectura pode ser feita sobre o efeito de a em y = a* sec (x) no gráfico da função secante? - O gráfico é inclinado verticalmente por um fator de a. Analisando o Gráfico da Função Cossecante Pelo fato da função cossecante ser definida como a recíproca da função seno i.e., , valores da função cossecante são recíprocos dos valores seno correspondentes. Os gráficos de y 22 = sen ( x ) e y 23 = cossec ( x ) são apresentados abaixo. Onde estão as Assíntotas verticais de y 23 = cossec ( x ) posicionadas no intervalo [- 2, 2] ? x = - 2, x = - , x = 0, x = , x = 2 Explique a razão do posicionamento das assíntotas verticais de y 23 = cossec ( x ) . - Onde a função seno é zero, a função cossecante tem assíntotas verticais. O gráfico de y 23 = cossec ( x ) é simétrico em relação a? - A origem Lembre-se que o domínio da função seno é (- , ) e a imagem da função seno é [- 1, 1]. Para a função cossecante, use a notação de intervalos para descrever a) O domínio - D = (- , ) b) A imagem - I = ( - , - 1] ou [1, ) O gráfico da função cossecante não tem amplitude e não tem ponto de intersecçao em x. Qual o ponto de intersecçao em y de y 23 = cossec ( x )? - Não há ponto de intersecçao em y. Descreva o comportamento de y 23 = cossec ( x ) como crescente ou decrescente em um intervalo específico. a) (0, ] - descrescente b) [ , ) - crescente c) (, ] - crescente d) [ , 2) - decrescente Considere os gráficos do trio de funções cossecantes O período da função cossecante y = cossec ( b.x ) é o mesmo período da função seno, ex., período = . Qual é o período de y 29 ? y 30 ? y 31? y 29 : 2 y 30: y 31: 4 Considere o gráfico de y 24 no intervalo [- 2, 2] . Onde estão as assíntotas verticais de y 24 localizadas no intervalo [- 2, 2]? x = - 2, x = - , x = 0, x = , x = 2 Qual o ponto de intersecçao no eixo y de y 24 ? - Não há ponto de intersecçao em y. Que hipótese pode ser feita sobre o efeito de a em y = a.cossec ( x ) no gráfico da função cossecante? - O gráfico é comprimido verticalmente por um fator a. Aprofundando Seus Conhecimentos a) y = tg ( x ) y = tg ( x ) é uma função ímpar, pois tg ( - x ) = - tg ( x ). b) y = cotg (x) É uma função ímpar, pois cotg ( - x ) = - cotg ( x ). c) y = sec ( x ) - É uma função par, pois sec ( - x) = sec (x) d) y = cossec ( x ) - É uma função ímpar, pois cossec ( - x ) = - cossec ( x ) Descreva como se obtém o gráfico de y = | f(x) | do gráfico de y = f(x) para cada função dada abaixo. e) y = tg ( x ) y = | tg ( x ) | é obtida pelo reflexo da parte do gráfico abaixo do eixo x para o gráfico acima do eixo x. f) y = sec ( x ) y = | sec ( x ) | é obtida pelo reflexo da parte do gráfico abaixo do eixo x para o gráfico acima do eixo x. Descreva como se obtém o gráfico de y = - f( x ) do gráfico de y = f( x ) para cada função dada abaixo. g) y = cotg ( x ) - Para obter o gráfico de y = - cotg ( x ), reflita o gráfico de y = cotg ( x ) acima do eixo x. h) y = cossec ( x ) - Para obter o gráfico de y = - cossec ( x ), reflita o gráfico de y = cossec ( x ) acima do eixo x.
Tendo em vista que , a função cotangente é indefinida quando sen( x ) = 0 e o gráfico da função cotangente intercepta o eixo x quando cos( x ) = 0.
Onde estão as Assíntotas verticais de y = cotg ( x ) posicionada no intervalo [- 2, 2]? x = - 2, x = - , x = 0, x = , x = 2
Quais sao os x-interceptados de y = cot x no intervalo [- 2, 2]? - , - , ,
O gráfico de y = cotg ( x ) é simétrico com relação a que? - A origem
Quantas vezes o gráfico da função cotangente repete esse modelo no intervalo [- 2, 2]? - 4 vezes
Preveja em qual intervalo de x os valores da função cotangente repete eles mesmos. -
Considere os gráficos de um trio de funções cotangentes no intervalo [ 0, 2].
Quantos ciclos estão completos no intervalo de extensão pi para y 15 e y 16? y 15 : 2 y 16 : 1/2 Compare o número de ciclos completos no intervalo de extensão com o coeficiente de x em y = cotg ( bx ). - O número de ciclos completos é igual ao coeficiente de x. Qual é a extensão de um ciclo (período) de y 15 ? y 16 ? y 15 : y 16 : 2 O período do gráfico da função cotangente é o mesmo que o da função tangente é dado pela extensão do intervalo, . Como a função tangente, a função cotangente é sem limites e não tem amplitude. Considere os gráficos das funções cotangentes y 17 = cotg ( x ) e y 18 = cotg ( - x ) no intervalo [ 0, ]. Explique onde o gráfico de y 17 = cotg ( x ) tem o mesmo período como o gráfico dey 18 = cotg ( - x ). - O período é o mesmo e igual a . Descreva como as duas curvas periódicas y 17 e y 18 são relacionadas. y 17 = cotg (- x ) é o oposto de y 18 = cotg ( x ), i.e., cotg (-x) = - cotg ( x) Analisando o Gráfico da Função Secante Pelo fato da função secante ser definida como a recíproca da função cosseno, i.e., , os valores da função secante são recíprocos aos valores cossenos correspondentes. Os gráficos de y 19 = cos ( x ) e y 20 = sec ( x ) são apresentados abaixo. Onde estão as assíntotas verticais de y 20 = sec ( x ) posicionados no intervalo [- 2, 2]? x = - , x = - , x = , x = Explique porque as assíntotas verticais de y 20 = sec ( x ) estão posicionadas onde estão. - Onde a função coseno é zero, a função secante tem assíntota vertical. O gráfico de y 20 = sec ( x ) é simétrica em relação a que? - Ao eixo y Recorde que o domínio da função cosseno é (- , ) e a imagem da função cosseno é [- 1, 1]. Para a função secante, use a notação intervalo para descrever o a) domínio - D = (- , ) b) Imagem - I = ( - , - 1] ou [1, ) O gráfico da função secante não tem amplitude e nem o eixo x é interceptado. Qual é o valor do eixo y que é interceptado por y 20 = sec ( x ) ? - y = 1 Descreva o comportamento de y 20 = sec ( x ) como crescente ou decrescente no intervalo específico. a) [0, ) - é crescente b) ( , ] - é decrescente c) [, ) - é decrescente d) (, 2] - é decrescente Considere os gráficos de um trio de funções secantes no intervalo [- 2, 2]. Quantos ciclos estão completos no intervalo da imagem de 2 para y 25, y 26 e y 27 ? y 25 : 1 y 26 : 2 y 27 : 1/2 Compare o número de ciclos completos no intervalo de extensão 2 com o coeficiente de x em y = sec ( bx ). - O número de ciclos completos é igual ao coeficiente de x. Qual é a extensão de um ciclo (período) de y 25 e y 26 y 26 : y 27 : 4 Um ciclo de y = sec ( bx ), b > 0, é completado com bx que varia de 0 a 2. Se , estão . A extensão do intervalo,, é o período de y = sec ( bx ). O período da função secante definida abaixo pode ser determinado algebricamente e confirmada graficamente. Qual é o período de y 28? 2 Baseado no gráfico de y 28, qual a extensão de um ciclo (período)? 2 Considere o gráfico de y 21 = 3 sec (x) no intervalo [- 2, 2]. Onde estão as assíntotas verticais de y 21 = 3 sec (x) posicionadas no intervalo [- 2, 2] ? x = - , x = - , x = , x = Qual é o valor onde o eixo y é interceptado por y 21 = 3 sec (x)? - igual à 3 Qual conjectura pode ser feita sobre o efeito de a em y = a* sec (x) no gráfico da função secante? - O gráfico é inclinado verticalmente por um fator de a. Analisando o Gráfico da Função Cossecante Pelo fato da função cossecante ser definida como a recíproca da função seno i.e., , valores da função cossecante são recíprocos dos valores seno correspondentes. Os gráficos de y 22 = sen ( x ) e y 23 = cossec ( x ) são apresentados abaixo. Onde estão as Assíntotas verticais de y 23 = cossec ( x ) posicionadas no intervalo [- 2, 2] ? x = - 2, x = - , x = 0, x = , x = 2 Explique a razão do posicionamento das assíntotas verticais de y 23 = cossec ( x ) . - Onde a função seno é zero, a função cossecante tem assíntotas verticais. O gráfico de y 23 = cossec ( x ) é simétrico em relação a? - A origem Lembre-se que o domínio da função seno é (- , ) e a imagem da função seno é [- 1, 1]. Para a função cossecante, use a notação de intervalos para descrever a) O domínio - D = (- , ) b) A imagem - I = ( - , - 1] ou [1, ) O gráfico da função cossecante não tem amplitude e não tem ponto de intersecçao em x. Qual o ponto de intersecçao em y de y 23 = cossec ( x )? - Não há ponto de intersecçao em y. Descreva o comportamento de y 23 = cossec ( x ) como crescente ou decrescente em um intervalo específico. a) (0, ] - descrescente b) [ , ) - crescente c) (, ] - crescente d) [ , 2) - decrescente Considere os gráficos do trio de funções cossecantes O período da função cossecante y = cossec ( b.x ) é o mesmo período da função seno, ex., período = . Qual é o período de y 29 ? y 30 ? y 31? y 29 : 2 y 30: y 31: 4 Considere o gráfico de y 24 no intervalo [- 2, 2] . Onde estão as assíntotas verticais de y 24 localizadas no intervalo [- 2, 2]? x = - 2, x = - , x = 0, x = , x = 2 Qual o ponto de intersecçao no eixo y de y 24 ? - Não há ponto de intersecçao em y. Que hipótese pode ser feita sobre o efeito de a em y = a.cossec ( x ) no gráfico da função cossecante? - O gráfico é comprimido verticalmente por um fator a. Aprofundando Seus Conhecimentos a) y = tg ( x ) y = tg ( x ) é uma função ímpar, pois tg ( - x ) = - tg ( x ). b) y = cotg (x) É uma função ímpar, pois cotg ( - x ) = - cotg ( x ). c) y = sec ( x ) - É uma função par, pois sec ( - x) = sec (x) d) y = cossec ( x ) - É uma função ímpar, pois cossec ( - x ) = - cossec ( x ) Descreva como se obtém o gráfico de y = | f(x) | do gráfico de y = f(x) para cada função dada abaixo. e) y = tg ( x ) y = | tg ( x ) | é obtida pelo reflexo da parte do gráfico abaixo do eixo x para o gráfico acima do eixo x. f) y = sec ( x ) y = | sec ( x ) | é obtida pelo reflexo da parte do gráfico abaixo do eixo x para o gráfico acima do eixo x. Descreva como se obtém o gráfico de y = - f( x ) do gráfico de y = f( x ) para cada função dada abaixo. g) y = cotg ( x ) - Para obter o gráfico de y = - cotg ( x ), reflita o gráfico de y = cotg ( x ) acima do eixo x. h) y = cossec ( x ) - Para obter o gráfico de y = - cossec ( x ), reflita o gráfico de y = cossec ( x ) acima do eixo x.
Quantos ciclos estão completos no intervalo de extensão pi para y 15 e y 16? y 15 : 2 y 16 : 1/2
Compare o número de ciclos completos no intervalo de extensão com o coeficiente de x em y = cotg ( bx ). - O número de ciclos completos é igual ao coeficiente de x.
Qual é a extensão de um ciclo (período) de y 15 ? y 16 ? y 15 : y 16 : 2
O período do gráfico da função cotangente é o mesmo que o da função tangente é dado pela extensão do intervalo, . Como a função tangente, a função cotangente é sem limites e não tem amplitude.
Considere os gráficos das funções cotangentes y 17 = cotg ( x ) e y 18 = cotg ( - x ) no intervalo [ 0, ].
Explique onde o gráfico de y 17 = cotg ( x ) tem o mesmo período como o gráfico dey 18 = cotg ( - x ). - O período é o mesmo e igual a . Descreva como as duas curvas periódicas y 17 e y 18 são relacionadas. y 17 = cotg (- x ) é o oposto de y 18 = cotg ( x ), i.e., cotg (-x) = - cotg ( x) Analisando o Gráfico da Função Secante Pelo fato da função secante ser definida como a recíproca da função cosseno, i.e., , os valores da função secante são recíprocos aos valores cossenos correspondentes. Os gráficos de y 19 = cos ( x ) e y 20 = sec ( x ) são apresentados abaixo. Onde estão as assíntotas verticais de y 20 = sec ( x ) posicionados no intervalo [- 2, 2]? x = - , x = - , x = , x = Explique porque as assíntotas verticais de y 20 = sec ( x ) estão posicionadas onde estão. - Onde a função coseno é zero, a função secante tem assíntota vertical. O gráfico de y 20 = sec ( x ) é simétrica em relação a que? - Ao eixo y Recorde que o domínio da função cosseno é (- , ) e a imagem da função cosseno é [- 1, 1]. Para a função secante, use a notação intervalo para descrever o a) domínio - D = (- , ) b) Imagem - I = ( - , - 1] ou [1, ) O gráfico da função secante não tem amplitude e nem o eixo x é interceptado. Qual é o valor do eixo y que é interceptado por y 20 = sec ( x ) ? - y = 1 Descreva o comportamento de y 20 = sec ( x ) como crescente ou decrescente no intervalo específico. a) [0, ) - é crescente b) ( , ] - é decrescente c) [, ) - é decrescente d) (, 2] - é decrescente Considere os gráficos de um trio de funções secantes no intervalo [- 2, 2]. Quantos ciclos estão completos no intervalo da imagem de 2 para y 25, y 26 e y 27 ? y 25 : 1 y 26 : 2 y 27 : 1/2 Compare o número de ciclos completos no intervalo de extensão 2 com o coeficiente de x em y = sec ( bx ). - O número de ciclos completos é igual ao coeficiente de x. Qual é a extensão de um ciclo (período) de y 25 e y 26 y 26 : y 27 : 4 Um ciclo de y = sec ( bx ), b > 0, é completado com bx que varia de 0 a 2. Se , estão . A extensão do intervalo,, é o período de y = sec ( bx ). O período da função secante definida abaixo pode ser determinado algebricamente e confirmada graficamente. Qual é o período de y 28? 2 Baseado no gráfico de y 28, qual a extensão de um ciclo (período)? 2 Considere o gráfico de y 21 = 3 sec (x) no intervalo [- 2, 2]. Onde estão as assíntotas verticais de y 21 = 3 sec (x) posicionadas no intervalo [- 2, 2] ? x = - , x = - , x = , x = Qual é o valor onde o eixo y é interceptado por y 21 = 3 sec (x)? - igual à 3 Qual conjectura pode ser feita sobre o efeito de a em y = a* sec (x) no gráfico da função secante? - O gráfico é inclinado verticalmente por um fator de a. Analisando o Gráfico da Função Cossecante Pelo fato da função cossecante ser definida como a recíproca da função seno i.e., , valores da função cossecante são recíprocos dos valores seno correspondentes. Os gráficos de y 22 = sen ( x ) e y 23 = cossec ( x ) são apresentados abaixo. Onde estão as Assíntotas verticais de y 23 = cossec ( x ) posicionadas no intervalo [- 2, 2] ? x = - 2, x = - , x = 0, x = , x = 2 Explique a razão do posicionamento das assíntotas verticais de y 23 = cossec ( x ) . - Onde a função seno é zero, a função cossecante tem assíntotas verticais. O gráfico de y 23 = cossec ( x ) é simétrico em relação a? - A origem Lembre-se que o domínio da função seno é (- , ) e a imagem da função seno é [- 1, 1]. Para a função cossecante, use a notação de intervalos para descrever a) O domínio - D = (- , ) b) A imagem - I = ( - , - 1] ou [1, ) O gráfico da função cossecante não tem amplitude e não tem ponto de intersecçao em x. Qual o ponto de intersecçao em y de y 23 = cossec ( x )? - Não há ponto de intersecçao em y. Descreva o comportamento de y 23 = cossec ( x ) como crescente ou decrescente em um intervalo específico. a) (0, ] - descrescente b) [ , ) - crescente c) (, ] - crescente d) [ , 2) - decrescente Considere os gráficos do trio de funções cossecantes O período da função cossecante y = cossec ( b.x ) é o mesmo período da função seno, ex., período = . Qual é o período de y 29 ? y 30 ? y 31? y 29 : 2 y 30: y 31: 4 Considere o gráfico de y 24 no intervalo [- 2, 2] . Onde estão as assíntotas verticais de y 24 localizadas no intervalo [- 2, 2]? x = - 2, x = - , x = 0, x = , x = 2 Qual o ponto de intersecçao no eixo y de y 24 ? - Não há ponto de intersecçao em y. Que hipótese pode ser feita sobre o efeito de a em y = a.cossec ( x ) no gráfico da função cossecante? - O gráfico é comprimido verticalmente por um fator a. Aprofundando Seus Conhecimentos a) y = tg ( x ) y = tg ( x ) é uma função ímpar, pois tg ( - x ) = - tg ( x ). b) y = cotg (x) É uma função ímpar, pois cotg ( - x ) = - cotg ( x ). c) y = sec ( x ) - É uma função par, pois sec ( - x) = sec (x) d) y = cossec ( x ) - É uma função ímpar, pois cossec ( - x ) = - cossec ( x ) Descreva como se obtém o gráfico de y = | f(x) | do gráfico de y = f(x) para cada função dada abaixo. e) y = tg ( x ) y = | tg ( x ) | é obtida pelo reflexo da parte do gráfico abaixo do eixo x para o gráfico acima do eixo x. f) y = sec ( x ) y = | sec ( x ) | é obtida pelo reflexo da parte do gráfico abaixo do eixo x para o gráfico acima do eixo x. Descreva como se obtém o gráfico de y = - f( x ) do gráfico de y = f( x ) para cada função dada abaixo. g) y = cotg ( x ) - Para obter o gráfico de y = - cotg ( x ), reflita o gráfico de y = cotg ( x ) acima do eixo x. h) y = cossec ( x ) - Para obter o gráfico de y = - cossec ( x ), reflita o gráfico de y = cossec ( x ) acima do eixo x.
Explique onde o gráfico de y 17 = cotg ( x ) tem o mesmo período como o gráfico dey 18 = cotg ( - x ). - O período é o mesmo e igual a .
Descreva como as duas curvas periódicas y 17 e y 18 são relacionadas. y 17 = cotg (- x ) é o oposto de y 18 = cotg ( x ), i.e., cotg (-x) = - cotg ( x)
Analisando o Gráfico da Função Secante
Pelo fato da função secante ser definida como a recíproca da função cosseno, i.e., , os valores da função secante são recíprocos aos valores cossenos correspondentes.
Os gráficos de y 19 = cos ( x ) e y 20 = sec ( x ) são apresentados abaixo.
Onde estão as assíntotas verticais de y 20 = sec ( x ) posicionados no intervalo [- 2, 2]? x = - , x = - , x = , x = Explique porque as assíntotas verticais de y 20 = sec ( x ) estão posicionadas onde estão. - Onde a função coseno é zero, a função secante tem assíntota vertical. O gráfico de y 20 = sec ( x ) é simétrica em relação a que? - Ao eixo y Recorde que o domínio da função cosseno é (- , ) e a imagem da função cosseno é [- 1, 1]. Para a função secante, use a notação intervalo para descrever o a) domínio - D = (- , ) b) Imagem - I = ( - , - 1] ou [1, ) O gráfico da função secante não tem amplitude e nem o eixo x é interceptado. Qual é o valor do eixo y que é interceptado por y 20 = sec ( x ) ? - y = 1 Descreva o comportamento de y 20 = sec ( x ) como crescente ou decrescente no intervalo específico. a) [0, ) - é crescente b) ( , ] - é decrescente c) [, ) - é decrescente d) (, 2] - é decrescente Considere os gráficos de um trio de funções secantes no intervalo [- 2, 2]. Quantos ciclos estão completos no intervalo da imagem de 2 para y 25, y 26 e y 27 ? y 25 : 1 y 26 : 2 y 27 : 1/2 Compare o número de ciclos completos no intervalo de extensão 2 com o coeficiente de x em y = sec ( bx ). - O número de ciclos completos é igual ao coeficiente de x. Qual é a extensão de um ciclo (período) de y 25 e y 26 y 26 : y 27 : 4 Um ciclo de y = sec ( bx ), b > 0, é completado com bx que varia de 0 a 2. Se , estão . A extensão do intervalo,, é o período de y = sec ( bx ). O período da função secante definida abaixo pode ser determinado algebricamente e confirmada graficamente. Qual é o período de y 28? 2 Baseado no gráfico de y 28, qual a extensão de um ciclo (período)? 2 Considere o gráfico de y 21 = 3 sec (x) no intervalo [- 2, 2]. Onde estão as assíntotas verticais de y 21 = 3 sec (x) posicionadas no intervalo [- 2, 2] ? x = - , x = - , x = , x = Qual é o valor onde o eixo y é interceptado por y 21 = 3 sec (x)? - igual à 3 Qual conjectura pode ser feita sobre o efeito de a em y = a* sec (x) no gráfico da função secante? - O gráfico é inclinado verticalmente por um fator de a. Analisando o Gráfico da Função Cossecante Pelo fato da função cossecante ser definida como a recíproca da função seno i.e., , valores da função cossecante são recíprocos dos valores seno correspondentes. Os gráficos de y 22 = sen ( x ) e y 23 = cossec ( x ) são apresentados abaixo. Onde estão as Assíntotas verticais de y 23 = cossec ( x ) posicionadas no intervalo [- 2, 2] ? x = - 2, x = - , x = 0, x = , x = 2 Explique a razão do posicionamento das assíntotas verticais de y 23 = cossec ( x ) . - Onde a função seno é zero, a função cossecante tem assíntotas verticais. O gráfico de y 23 = cossec ( x ) é simétrico em relação a? - A origem Lembre-se que o domínio da função seno é (- , ) e a imagem da função seno é [- 1, 1]. Para a função cossecante, use a notação de intervalos para descrever a) O domínio - D = (- , ) b) A imagem - I = ( - , - 1] ou [1, ) O gráfico da função cossecante não tem amplitude e não tem ponto de intersecçao em x. Qual o ponto de intersecçao em y de y 23 = cossec ( x )? - Não há ponto de intersecçao em y. Descreva o comportamento de y 23 = cossec ( x ) como crescente ou decrescente em um intervalo específico. a) (0, ] - descrescente b) [ , ) - crescente c) (, ] - crescente d) [ , 2) - decrescente Considere os gráficos do trio de funções cossecantes O período da função cossecante y = cossec ( b.x ) é o mesmo período da função seno, ex., período = . Qual é o período de y 29 ? y 30 ? y 31? y 29 : 2 y 30: y 31: 4 Considere o gráfico de y 24 no intervalo [- 2, 2] . Onde estão as assíntotas verticais de y 24 localizadas no intervalo [- 2, 2]? x = - 2, x = - , x = 0, x = , x = 2 Qual o ponto de intersecçao no eixo y de y 24 ? - Não há ponto de intersecçao em y. Que hipótese pode ser feita sobre o efeito de a em y = a.cossec ( x ) no gráfico da função cossecante? - O gráfico é comprimido verticalmente por um fator a. Aprofundando Seus Conhecimentos a) y = tg ( x ) y = tg ( x ) é uma função ímpar, pois tg ( - x ) = - tg ( x ). b) y = cotg (x) É uma função ímpar, pois cotg ( - x ) = - cotg ( x ). c) y = sec ( x ) - É uma função par, pois sec ( - x) = sec (x) d) y = cossec ( x ) - É uma função ímpar, pois cossec ( - x ) = - cossec ( x ) Descreva como se obtém o gráfico de y = | f(x) | do gráfico de y = f(x) para cada função dada abaixo. e) y = tg ( x ) y = | tg ( x ) | é obtida pelo reflexo da parte do gráfico abaixo do eixo x para o gráfico acima do eixo x. f) y = sec ( x ) y = | sec ( x ) | é obtida pelo reflexo da parte do gráfico abaixo do eixo x para o gráfico acima do eixo x. Descreva como se obtém o gráfico de y = - f( x ) do gráfico de y = f( x ) para cada função dada abaixo. g) y = cotg ( x ) - Para obter o gráfico de y = - cotg ( x ), reflita o gráfico de y = cotg ( x ) acima do eixo x. h) y = cossec ( x ) - Para obter o gráfico de y = - cossec ( x ), reflita o gráfico de y = cossec ( x ) acima do eixo x.
Onde estão as assíntotas verticais de y 20 = sec ( x ) posicionados no intervalo [- 2, 2]? x = - , x = - , x = , x =
Explique porque as assíntotas verticais de y 20 = sec ( x ) estão posicionadas onde estão. - Onde a função coseno é zero, a função secante tem assíntota vertical.
O gráfico de y 20 = sec ( x ) é simétrica em relação a que? - Ao eixo y
Recorde que o domínio da função cosseno é (- , ) e a imagem da função cosseno é [- 1, 1]. Para a função secante, use a notação intervalo para descrever o a) domínio - D = (- , )
b) Imagem - I = ( - , - 1] ou [1, )
O gráfico da função secante não tem amplitude e nem o eixo x é interceptado.
Qual é o valor do eixo y que é interceptado por y 20 = sec ( x ) ? - y = 1
Descreva o comportamento de y 20 = sec ( x ) como crescente ou decrescente no intervalo específico. a) [0, ) - é crescente
b) ( , ] - é decrescente c) [, ) - é decrescente
d) (, 2] - é decrescente
Considere os gráficos de um trio de funções secantes no intervalo [- 2, 2].
Quantos ciclos estão completos no intervalo da imagem de 2 para y 25, y 26 e y 27 ? y 25 : 1 y 26 : 2 y 27 : 1/2 Compare o número de ciclos completos no intervalo de extensão 2 com o coeficiente de x em y = sec ( bx ). - O número de ciclos completos é igual ao coeficiente de x. Qual é a extensão de um ciclo (período) de y 25 e y 26 y 26 : y 27 : 4 Um ciclo de y = sec ( bx ), b > 0, é completado com bx que varia de 0 a 2. Se , estão . A extensão do intervalo,, é o período de y = sec ( bx ). O período da função secante definida abaixo pode ser determinado algebricamente e confirmada graficamente. Qual é o período de y 28? 2 Baseado no gráfico de y 28, qual a extensão de um ciclo (período)? 2 Considere o gráfico de y 21 = 3 sec (x) no intervalo [- 2, 2]. Onde estão as assíntotas verticais de y 21 = 3 sec (x) posicionadas no intervalo [- 2, 2] ? x = - , x = - , x = , x = Qual é o valor onde o eixo y é interceptado por y 21 = 3 sec (x)? - igual à 3 Qual conjectura pode ser feita sobre o efeito de a em y = a* sec (x) no gráfico da função secante? - O gráfico é inclinado verticalmente por um fator de a. Analisando o Gráfico da Função Cossecante Pelo fato da função cossecante ser definida como a recíproca da função seno i.e., , valores da função cossecante são recíprocos dos valores seno correspondentes. Os gráficos de y 22 = sen ( x ) e y 23 = cossec ( x ) são apresentados abaixo. Onde estão as Assíntotas verticais de y 23 = cossec ( x ) posicionadas no intervalo [- 2, 2] ? x = - 2, x = - , x = 0, x = , x = 2 Explique a razão do posicionamento das assíntotas verticais de y 23 = cossec ( x ) . - Onde a função seno é zero, a função cossecante tem assíntotas verticais. O gráfico de y 23 = cossec ( x ) é simétrico em relação a? - A origem Lembre-se que o domínio da função seno é (- , ) e a imagem da função seno é [- 1, 1]. Para a função cossecante, use a notação de intervalos para descrever a) O domínio - D = (- , ) b) A imagem - I = ( - , - 1] ou [1, ) O gráfico da função cossecante não tem amplitude e não tem ponto de intersecçao em x. Qual o ponto de intersecçao em y de y 23 = cossec ( x )? - Não há ponto de intersecçao em y. Descreva o comportamento de y 23 = cossec ( x ) como crescente ou decrescente em um intervalo específico. a) (0, ] - descrescente b) [ , ) - crescente c) (, ] - crescente d) [ , 2) - decrescente Considere os gráficos do trio de funções cossecantes O período da função cossecante y = cossec ( b.x ) é o mesmo período da função seno, ex., período = . Qual é o período de y 29 ? y 30 ? y 31? y 29 : 2 y 30: y 31: 4 Considere o gráfico de y 24 no intervalo [- 2, 2] . Onde estão as assíntotas verticais de y 24 localizadas no intervalo [- 2, 2]? x = - 2, x = - , x = 0, x = , x = 2 Qual o ponto de intersecçao no eixo y de y 24 ? - Não há ponto de intersecçao em y. Que hipótese pode ser feita sobre o efeito de a em y = a.cossec ( x ) no gráfico da função cossecante? - O gráfico é comprimido verticalmente por um fator a. Aprofundando Seus Conhecimentos a) y = tg ( x ) y = tg ( x ) é uma função ímpar, pois tg ( - x ) = - tg ( x ). b) y = cotg (x) É uma função ímpar, pois cotg ( - x ) = - cotg ( x ). c) y = sec ( x ) - É uma função par, pois sec ( - x) = sec (x) d) y = cossec ( x ) - É uma função ímpar, pois cossec ( - x ) = - cossec ( x ) Descreva como se obtém o gráfico de y = | f(x) | do gráfico de y = f(x) para cada função dada abaixo. e) y = tg ( x ) y = | tg ( x ) | é obtida pelo reflexo da parte do gráfico abaixo do eixo x para o gráfico acima do eixo x. f) y = sec ( x ) y = | sec ( x ) | é obtida pelo reflexo da parte do gráfico abaixo do eixo x para o gráfico acima do eixo x. Descreva como se obtém o gráfico de y = - f( x ) do gráfico de y = f( x ) para cada função dada abaixo. g) y = cotg ( x ) - Para obter o gráfico de y = - cotg ( x ), reflita o gráfico de y = cotg ( x ) acima do eixo x. h) y = cossec ( x ) - Para obter o gráfico de y = - cossec ( x ), reflita o gráfico de y = cossec ( x ) acima do eixo x.
Quantos ciclos estão completos no intervalo da imagem de 2 para y 25, y 26 e y 27 ? y 25 : 1 y 26 : 2 y 27 : 1/2
Compare o número de ciclos completos no intervalo de extensão 2 com o coeficiente de x em y = sec ( bx ). - O número de ciclos completos é igual ao coeficiente de x.
Qual é a extensão de um ciclo (período) de y 25 e y 26 y 26 : y 27 : 4
Um ciclo de y = sec ( bx ), b > 0, é completado com bx que varia de 0 a 2. Se , estão . A extensão do intervalo,, é o período de y = sec ( bx ).
O período da função secante definida abaixo pode ser determinado algebricamente e confirmada graficamente. Qual é o período de y 28? 2 Baseado no gráfico de y 28, qual a extensão de um ciclo (período)? 2 Considere o gráfico de y 21 = 3 sec (x) no intervalo [- 2, 2]. Onde estão as assíntotas verticais de y 21 = 3 sec (x) posicionadas no intervalo [- 2, 2] ? x = - , x = - , x = , x = Qual é o valor onde o eixo y é interceptado por y 21 = 3 sec (x)? - igual à 3 Qual conjectura pode ser feita sobre o efeito de a em y = a* sec (x) no gráfico da função secante? - O gráfico é inclinado verticalmente por um fator de a. Analisando o Gráfico da Função Cossecante Pelo fato da função cossecante ser definida como a recíproca da função seno i.e., , valores da função cossecante são recíprocos dos valores seno correspondentes. Os gráficos de y 22 = sen ( x ) e y 23 = cossec ( x ) são apresentados abaixo. Onde estão as Assíntotas verticais de y 23 = cossec ( x ) posicionadas no intervalo [- 2, 2] ? x = - 2, x = - , x = 0, x = , x = 2 Explique a razão do posicionamento das assíntotas verticais de y 23 = cossec ( x ) . - Onde a função seno é zero, a função cossecante tem assíntotas verticais. O gráfico de y 23 = cossec ( x ) é simétrico em relação a? - A origem Lembre-se que o domínio da função seno é (- , ) e a imagem da função seno é [- 1, 1]. Para a função cossecante, use a notação de intervalos para descrever a) O domínio - D = (- , ) b) A imagem - I = ( - , - 1] ou [1, ) O gráfico da função cossecante não tem amplitude e não tem ponto de intersecçao em x. Qual o ponto de intersecçao em y de y 23 = cossec ( x )? - Não há ponto de intersecçao em y. Descreva o comportamento de y 23 = cossec ( x ) como crescente ou decrescente em um intervalo específico. a) (0, ] - descrescente b) [ , ) - crescente c) (, ] - crescente d) [ , 2) - decrescente Considere os gráficos do trio de funções cossecantes O período da função cossecante y = cossec ( b.x ) é o mesmo período da função seno, ex., período = . Qual é o período de y 29 ? y 30 ? y 31? y 29 : 2 y 30: y 31: 4 Considere o gráfico de y 24 no intervalo [- 2, 2] . Onde estão as assíntotas verticais de y 24 localizadas no intervalo [- 2, 2]? x = - 2, x = - , x = 0, x = , x = 2 Qual o ponto de intersecçao no eixo y de y 24 ? - Não há ponto de intersecçao em y. Que hipótese pode ser feita sobre o efeito de a em y = a.cossec ( x ) no gráfico da função cossecante? - O gráfico é comprimido verticalmente por um fator a. Aprofundando Seus Conhecimentos a) y = tg ( x ) y = tg ( x ) é uma função ímpar, pois tg ( - x ) = - tg ( x ). b) y = cotg (x) É uma função ímpar, pois cotg ( - x ) = - cotg ( x ). c) y = sec ( x ) - É uma função par, pois sec ( - x) = sec (x) d) y = cossec ( x ) - É uma função ímpar, pois cossec ( - x ) = - cossec ( x ) Descreva como se obtém o gráfico de y = | f(x) | do gráfico de y = f(x) para cada função dada abaixo. e) y = tg ( x ) y = | tg ( x ) | é obtida pelo reflexo da parte do gráfico abaixo do eixo x para o gráfico acima do eixo x. f) y = sec ( x ) y = | sec ( x ) | é obtida pelo reflexo da parte do gráfico abaixo do eixo x para o gráfico acima do eixo x. Descreva como se obtém o gráfico de y = - f( x ) do gráfico de y = f( x ) para cada função dada abaixo. g) y = cotg ( x ) - Para obter o gráfico de y = - cotg ( x ), reflita o gráfico de y = cotg ( x ) acima do eixo x. h) y = cossec ( x ) - Para obter o gráfico de y = - cossec ( x ), reflita o gráfico de y = cossec ( x ) acima do eixo x.
Qual é o período de y 28? 2
Baseado no gráfico de y 28, qual a extensão de um ciclo (período)? 2
Considere o gráfico de y 21 = 3 sec (x) no intervalo [- 2, 2].
Onde estão as assíntotas verticais de y 21 = 3 sec (x) posicionadas no intervalo [- 2, 2] ? x = - , x = - , x = , x = Qual é o valor onde o eixo y é interceptado por y 21 = 3 sec (x)? - igual à 3 Qual conjectura pode ser feita sobre o efeito de a em y = a* sec (x) no gráfico da função secante? - O gráfico é inclinado verticalmente por um fator de a. Analisando o Gráfico da Função Cossecante Pelo fato da função cossecante ser definida como a recíproca da função seno i.e., , valores da função cossecante são recíprocos dos valores seno correspondentes. Os gráficos de y 22 = sen ( x ) e y 23 = cossec ( x ) são apresentados abaixo. Onde estão as Assíntotas verticais de y 23 = cossec ( x ) posicionadas no intervalo [- 2, 2] ? x = - 2, x = - , x = 0, x = , x = 2 Explique a razão do posicionamento das assíntotas verticais de y 23 = cossec ( x ) . - Onde a função seno é zero, a função cossecante tem assíntotas verticais. O gráfico de y 23 = cossec ( x ) é simétrico em relação a? - A origem Lembre-se que o domínio da função seno é (- , ) e a imagem da função seno é [- 1, 1]. Para a função cossecante, use a notação de intervalos para descrever a) O domínio - D = (- , ) b) A imagem - I = ( - , - 1] ou [1, ) O gráfico da função cossecante não tem amplitude e não tem ponto de intersecçao em x. Qual o ponto de intersecçao em y de y 23 = cossec ( x )? - Não há ponto de intersecçao em y. Descreva o comportamento de y 23 = cossec ( x ) como crescente ou decrescente em um intervalo específico. a) (0, ] - descrescente b) [ , ) - crescente c) (, ] - crescente d) [ , 2) - decrescente Considere os gráficos do trio de funções cossecantes O período da função cossecante y = cossec ( b.x ) é o mesmo período da função seno, ex., período = . Qual é o período de y 29 ? y 30 ? y 31? y 29 : 2 y 30: y 31: 4 Considere o gráfico de y 24 no intervalo [- 2, 2] . Onde estão as assíntotas verticais de y 24 localizadas no intervalo [- 2, 2]? x = - 2, x = - , x = 0, x = , x = 2 Qual o ponto de intersecçao no eixo y de y 24 ? - Não há ponto de intersecçao em y. Que hipótese pode ser feita sobre o efeito de a em y = a.cossec ( x ) no gráfico da função cossecante? - O gráfico é comprimido verticalmente por um fator a. Aprofundando Seus Conhecimentos a) y = tg ( x ) y = tg ( x ) é uma função ímpar, pois tg ( - x ) = - tg ( x ). b) y = cotg (x) É uma função ímpar, pois cotg ( - x ) = - cotg ( x ). c) y = sec ( x ) - É uma função par, pois sec ( - x) = sec (x) d) y = cossec ( x ) - É uma função ímpar, pois cossec ( - x ) = - cossec ( x ) Descreva como se obtém o gráfico de y = | f(x) | do gráfico de y = f(x) para cada função dada abaixo. e) y = tg ( x ) y = | tg ( x ) | é obtida pelo reflexo da parte do gráfico abaixo do eixo x para o gráfico acima do eixo x. f) y = sec ( x ) y = | sec ( x ) | é obtida pelo reflexo da parte do gráfico abaixo do eixo x para o gráfico acima do eixo x. Descreva como se obtém o gráfico de y = - f( x ) do gráfico de y = f( x ) para cada função dada abaixo. g) y = cotg ( x ) - Para obter o gráfico de y = - cotg ( x ), reflita o gráfico de y = cotg ( x ) acima do eixo x. h) y = cossec ( x ) - Para obter o gráfico de y = - cossec ( x ), reflita o gráfico de y = cossec ( x ) acima do eixo x.
Onde estão as assíntotas verticais de y 21 = 3 sec (x) posicionadas no intervalo [- 2, 2] ? x = - , x = - , x = , x =
Qual é o valor onde o eixo y é interceptado por y 21 = 3 sec (x)? - igual à 3
Qual conjectura pode ser feita sobre o efeito de a em y = a* sec (x) no gráfico da função secante? - O gráfico é inclinado verticalmente por um fator de a.
Analisando o Gráfico da Função Cossecante
Pelo fato da função cossecante ser definida como a recíproca da função seno i.e., , valores da função cossecante são recíprocos dos valores seno correspondentes.
Os gráficos de y 22 = sen ( x ) e y 23 = cossec ( x ) são apresentados abaixo.
Onde estão as Assíntotas verticais de y 23 = cossec ( x ) posicionadas no intervalo [- 2, 2] ? x = - 2, x = - , x = 0, x = , x = 2 Explique a razão do posicionamento das assíntotas verticais de y 23 = cossec ( x ) . - Onde a função seno é zero, a função cossecante tem assíntotas verticais. O gráfico de y 23 = cossec ( x ) é simétrico em relação a? - A origem Lembre-se que o domínio da função seno é (- , ) e a imagem da função seno é [- 1, 1]. Para a função cossecante, use a notação de intervalos para descrever a) O domínio - D = (- , ) b) A imagem - I = ( - , - 1] ou [1, ) O gráfico da função cossecante não tem amplitude e não tem ponto de intersecçao em x. Qual o ponto de intersecçao em y de y 23 = cossec ( x )? - Não há ponto de intersecçao em y. Descreva o comportamento de y 23 = cossec ( x ) como crescente ou decrescente em um intervalo específico. a) (0, ] - descrescente b) [ , ) - crescente c) (, ] - crescente d) [ , 2) - decrescente Considere os gráficos do trio de funções cossecantes O período da função cossecante y = cossec ( b.x ) é o mesmo período da função seno, ex., período = . Qual é o período de y 29 ? y 30 ? y 31? y 29 : 2 y 30: y 31: 4 Considere o gráfico de y 24 no intervalo [- 2, 2] . Onde estão as assíntotas verticais de y 24 localizadas no intervalo [- 2, 2]? x = - 2, x = - , x = 0, x = , x = 2 Qual o ponto de intersecçao no eixo y de y 24 ? - Não há ponto de intersecçao em y. Que hipótese pode ser feita sobre o efeito de a em y = a.cossec ( x ) no gráfico da função cossecante? - O gráfico é comprimido verticalmente por um fator a. Aprofundando Seus Conhecimentos a) y = tg ( x ) y = tg ( x ) é uma função ímpar, pois tg ( - x ) = - tg ( x ). b) y = cotg (x) É uma função ímpar, pois cotg ( - x ) = - cotg ( x ). c) y = sec ( x ) - É uma função par, pois sec ( - x) = sec (x) d) y = cossec ( x ) - É uma função ímpar, pois cossec ( - x ) = - cossec ( x ) Descreva como se obtém o gráfico de y = | f(x) | do gráfico de y = f(x) para cada função dada abaixo. e) y = tg ( x ) y = | tg ( x ) | é obtida pelo reflexo da parte do gráfico abaixo do eixo x para o gráfico acima do eixo x. f) y = sec ( x ) y = | sec ( x ) | é obtida pelo reflexo da parte do gráfico abaixo do eixo x para o gráfico acima do eixo x. Descreva como se obtém o gráfico de y = - f( x ) do gráfico de y = f( x ) para cada função dada abaixo. g) y = cotg ( x ) - Para obter o gráfico de y = - cotg ( x ), reflita o gráfico de y = cotg ( x ) acima do eixo x. h) y = cossec ( x ) - Para obter o gráfico de y = - cossec ( x ), reflita o gráfico de y = cossec ( x ) acima do eixo x.
Onde estão as Assíntotas verticais de y 23 = cossec ( x ) posicionadas no intervalo [- 2, 2] ? x = - 2, x = - , x = 0, x = , x = 2
Explique a razão do posicionamento das assíntotas verticais de y 23 = cossec ( x ) . - Onde a função seno é zero, a função cossecante tem assíntotas verticais.
O gráfico de y 23 = cossec ( x ) é simétrico em relação a? - A origem
Lembre-se que o domínio da função seno é (- , ) e a imagem da função seno é [- 1, 1]. Para a função cossecante, use a notação de intervalos para descrever a) O domínio - D = (- , )
b) A imagem - I = ( - , - 1] ou [1, )
O gráfico da função cossecante não tem amplitude e não tem ponto de intersecçao em x.
Qual o ponto de intersecçao em y de y 23 = cossec ( x )? - Não há ponto de intersecçao em y.
Descreva o comportamento de y 23 = cossec ( x ) como crescente ou decrescente em um intervalo específico.
a) (0, ] - descrescente
b) [ , ) - crescente
c) (, ] - crescente
d) [ , 2) - decrescente
Considere os gráficos do trio de funções cossecantes O período da função cossecante y = cossec ( b.x ) é o mesmo período da função seno, ex., período = . Qual é o período de y 29 ? y 30 ? y 31? y 29 : 2 y 30: y 31: 4 Considere o gráfico de y 24 no intervalo [- 2, 2] . Onde estão as assíntotas verticais de y 24 localizadas no intervalo [- 2, 2]? x = - 2, x = - , x = 0, x = , x = 2 Qual o ponto de intersecçao no eixo y de y 24 ? - Não há ponto de intersecçao em y. Que hipótese pode ser feita sobre o efeito de a em y = a.cossec ( x ) no gráfico da função cossecante? - O gráfico é comprimido verticalmente por um fator a. Aprofundando Seus Conhecimentos a) y = tg ( x ) y = tg ( x ) é uma função ímpar, pois tg ( - x ) = - tg ( x ). b) y = cotg (x) É uma função ímpar, pois cotg ( - x ) = - cotg ( x ). c) y = sec ( x ) - É uma função par, pois sec ( - x) = sec (x) d) y = cossec ( x ) - É uma função ímpar, pois cossec ( - x ) = - cossec ( x ) Descreva como se obtém o gráfico de y = | f(x) | do gráfico de y = f(x) para cada função dada abaixo. e) y = tg ( x ) y = | tg ( x ) | é obtida pelo reflexo da parte do gráfico abaixo do eixo x para o gráfico acima do eixo x. f) y = sec ( x ) y = | sec ( x ) | é obtida pelo reflexo da parte do gráfico abaixo do eixo x para o gráfico acima do eixo x. Descreva como se obtém o gráfico de y = - f( x ) do gráfico de y = f( x ) para cada função dada abaixo. g) y = cotg ( x ) - Para obter o gráfico de y = - cotg ( x ), reflita o gráfico de y = cotg ( x ) acima do eixo x. h) y = cossec ( x ) - Para obter o gráfico de y = - cossec ( x ), reflita o gráfico de y = cossec ( x ) acima do eixo x.
O período da função cossecante y = cossec ( b.x ) é o mesmo período da função seno, ex., período = .
Qual é o período de y 29 ? y 30 ? y 31? y 29 : 2 y 30: y 31: 4
Considere o gráfico de y 24 no intervalo [- 2, 2] .
Onde estão as assíntotas verticais de y 24 localizadas no intervalo [- 2, 2]? x = - 2, x = - , x = 0, x = , x = 2 Qual o ponto de intersecçao no eixo y de y 24 ? - Não há ponto de intersecçao em y. Que hipótese pode ser feita sobre o efeito de a em y = a.cossec ( x ) no gráfico da função cossecante? - O gráfico é comprimido verticalmente por um fator a. Aprofundando Seus Conhecimentos a) y = tg ( x ) y = tg ( x ) é uma função ímpar, pois tg ( - x ) = - tg ( x ). b) y = cotg (x) É uma função ímpar, pois cotg ( - x ) = - cotg ( x ). c) y = sec ( x ) - É uma função par, pois sec ( - x) = sec (x) d) y = cossec ( x ) - É uma função ímpar, pois cossec ( - x ) = - cossec ( x ) Descreva como se obtém o gráfico de y = | f(x) | do gráfico de y = f(x) para cada função dada abaixo. e) y = tg ( x ) y = | tg ( x ) | é obtida pelo reflexo da parte do gráfico abaixo do eixo x para o gráfico acima do eixo x. f) y = sec ( x ) y = | sec ( x ) | é obtida pelo reflexo da parte do gráfico abaixo do eixo x para o gráfico acima do eixo x. Descreva como se obtém o gráfico de y = - f( x ) do gráfico de y = f( x ) para cada função dada abaixo. g) y = cotg ( x ) - Para obter o gráfico de y = - cotg ( x ), reflita o gráfico de y = cotg ( x ) acima do eixo x. h) y = cossec ( x ) - Para obter o gráfico de y = - cossec ( x ), reflita o gráfico de y = cossec ( x ) acima do eixo x.
Onde estão as assíntotas verticais de y 24 localizadas no intervalo [- 2, 2]? x = - 2, x = - , x = 0, x = , x = 2
Qual o ponto de intersecçao no eixo y de y 24 ? - Não há ponto de intersecçao em y.
Que hipótese pode ser feita sobre o efeito de a em y = a.cossec ( x ) no gráfico da função cossecante? - O gráfico é comprimido verticalmente por um fator a.
Aprofundando Seus Conhecimentos
a) y = tg ( x ) y = tg ( x ) é uma função ímpar, pois tg ( - x ) = - tg ( x ).
b) y = cotg (x) É uma função ímpar, pois cotg ( - x ) = - cotg ( x ).
c) y = sec ( x )
- É uma função par, pois sec ( - x) = sec (x) d) y = cossec ( x ) - É uma função ímpar, pois cossec ( - x ) = - cossec ( x ) Descreva como se obtém o gráfico de y = | f(x) | do gráfico de y = f(x) para cada função dada abaixo. e) y = tg ( x ) y = | tg ( x ) | é obtida pelo reflexo da parte do gráfico abaixo do eixo x para o gráfico acima do eixo x. f) y = sec ( x ) y = | sec ( x ) | é obtida pelo reflexo da parte do gráfico abaixo do eixo x para o gráfico acima do eixo x. Descreva como se obtém o gráfico de y = - f( x ) do gráfico de y = f( x ) para cada função dada abaixo. g) y = cotg ( x ) - Para obter o gráfico de y = - cotg ( x ), reflita o gráfico de y = cotg ( x ) acima do eixo x. h) y = cossec ( x ) - Para obter o gráfico de y = - cossec ( x ), reflita o gráfico de y = cossec ( x ) acima do eixo x.
- É uma função par, pois sec ( - x) = sec (x)
d) y = cossec ( x )
- É uma função ímpar, pois cossec ( - x ) = - cossec ( x ) Descreva como se obtém o gráfico de y = | f(x) | do gráfico de y = f(x) para cada função dada abaixo. e) y = tg ( x ) y = | tg ( x ) | é obtida pelo reflexo da parte do gráfico abaixo do eixo x para o gráfico acima do eixo x. f) y = sec ( x ) y = | sec ( x ) | é obtida pelo reflexo da parte do gráfico abaixo do eixo x para o gráfico acima do eixo x. Descreva como se obtém o gráfico de y = - f( x ) do gráfico de y = f( x ) para cada função dada abaixo. g) y = cotg ( x ) - Para obter o gráfico de y = - cotg ( x ), reflita o gráfico de y = cotg ( x ) acima do eixo x. h) y = cossec ( x ) - Para obter o gráfico de y = - cossec ( x ), reflita o gráfico de y = cossec ( x ) acima do eixo x.
- É uma função ímpar, pois cossec ( - x ) = - cossec ( x )
Descreva como se obtém o gráfico de y = | f(x) | do gráfico de y = f(x) para cada função dada abaixo.
e) y = tg ( x )
y = | tg ( x ) | é obtida pelo reflexo da parte do gráfico abaixo do eixo x para o gráfico acima do eixo x.
f) y = sec ( x ) y = | sec ( x ) | é obtida pelo reflexo da parte do gráfico abaixo do eixo x para o gráfico acima do eixo x.
Descreva como se obtém o gráfico de y = - f( x ) do gráfico de y = f( x ) para cada função dada abaixo.
g) y = cotg ( x ) - Para obter o gráfico de y = - cotg ( x ), reflita o gráfico de y = cotg ( x ) acima do eixo x.
h) y = cossec ( x ) - Para obter o gráfico de y = - cossec ( x ), reflita o gráfico de y = cossec ( x ) acima do eixo x.
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